LekcjeRazem

Krawędzie z wierzchołka $A$: $AB=x$, $AE=3x$ oraz $AD=y$. Suma $12$ krawędzi: $4(x+3x+y)=48$, stąd $4x+y=12$, czyli $y=12-4x$.

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o krawędziach $x$, $3x$, $(12-4x)$:

$P(x)=2\big(x\cdot 3x+x(12-4x)+3x(12-4x)\big)=2\big(3x^{2}+12x-4x^{2}+36x-12x^{2}\big)=2\big(-13x^{2}+48x\big)=-26x^{2}+96x$.

Dziedzina: $x>0$ oraz $y=12-4x>0\Rightarrow x\lt 3$, czyli $x\in(0,\,3)$.

Funkcja kwadratowa o ramionach w dół osiąga największą wartość w wierzchołku: $x=\dfrac{-96}{2\cdot(-26)}=\dfrac{96}{52}=\dfrac{24}{13}$ (należy do dziedziny).

Pole powierzchni całkowitej jest największe dla $x=\dfrac{24}{13}$.