Zadanie polega na wyprowadzieniu wzoru na objętość stożka, w którym odległość środka podstawy od tworzącej wynosi $5$, a wysokość $h > 5$.
Oznaczenia: Niech $r$ – promień podstawy stożka, $h$ – wysokość stożka, $l$ – długość tworzącej stożka.
-
Krok 1: Wyznaczamy długość tworzącej.
Z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójkąta prostokątnego (prawego) o ramionach $r$, $h$ i przeciwprostokątnej $l$ (tworzącej) otrzymujemy:
$$l = \sqrt{r^2 + h^2}$$
-
Krok 2: Wyznaczamy odległość środka podstawy od tworzącej.
Rozważamy przekrój osiowy stożka – jest to trójkąt równoramienny o podstawie $2r$ i wysokości $h$. Środek podstawy stożka to środek odcinka będącego podstawą tego trójkąta. Odległość tego punktu od tworzącej (boku trójkąta) to odległość punktu od prostej zawierającej tworzącą.
W trójkącie osiowym wierzchołki to: $S = (0, h)$ (wierzchołek stożka) oraz $A = (-r, 0)$ i $B = (r, 0)$ (końce średnicy podstawy). Środek podstawy to punkt $O = (0, 0)$. Obliczamy odległość punktu $O$ od prostej zawierającej odcinek $SB$.
Prosta przechodząca przez $S = (0, h)$ i $B = (r, 0)$ ma równanie:
$$\frac{x}{r} + \frac{y}{h} = 1 \quad \Longrightarrow \quad hx + ry - rh = 0$$
Odległość punktu $O = (0,0)$ od tej prostej wynosi:
$$d = \frac{|h \cdot 0 + r \cdot 0 - rh|}{\sqrt{h^2 + r^2}} = \frac{rh}{\sqrt{r^2 + h^2}}$$
Ponieważ $l = \sqrt{r^2 + h^2}$, mamy:
$$d = \frac{rh}{l}$$
Można to też rozumieć jako pole trójkąta $SOB$: pole wynosi $\frac{1}{2} \cdot r \cdot h$ (podstawa $r$, wysokość $h$), a jednocześnie $\frac{1}{2} \cdot l \cdot d$, skąd $d = \frac{rh}{l}$.
-
Krok 3: Korzystamy z warunku zadania.
Z założenia odległość środka podstawy od tworzącej wynosi $5$:
$$\frac{rh}{\sqrt{r^2 + h^2}} = 5$$
Podnosimy obie strony do kwadratu:
$$\frac{r^2 h^2}{r^2 + h^2} = 25$$
$$r^2 h^2 = 25(r^2 + h^2)$$
$$r^2 h^2 - 25r^2 = 25h^2$$
$$r^2(h^2 - 25) = 25h^2$$
$$r^2 = \frac{25h^2}{h^2 - 25}$$
Wyrażenie jest poprawne dla $h > 5$ (wtedy $h^2 - 25 > 0$, co gwarantuje $r^2 > 0$).
-
Krok 4: Obliczamy objętość stożka.
Wzór na objętość stożka:
$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$
Podstawiamy wyznaczone $r^2$:
$$V(h) = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{25h^2}{h^2 - 25} \cdot h$$
$$\boxed{V(h) = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{25h^3}{h^2 - 25}}$$
Wniosek: Wykazaliśmy, że dla stożka o wysokości $h > 5$, w którym odległość środka podstawy od tworzącej wynosi $5$, objętość wyraża się wzorem:
$$V(h) = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{25h^3}{h^2 - 25}$$
co kończy dowód. $\blacksquare$