Szukamy minimum funkcji $V(h) = \dfrac{\pi}{3} \cdot \dfrac{25h^3}{h^2 - 25}$ dla $h \in (5, +\infty)$.
-
Krok 1: Obliczenie pochodnej $V'(h)$
Wyznaczamy pochodną funkcji $V(h) = \dfrac{25\pi}{3} \cdot \dfrac{h^3}{h^2 - 25}$, korzystając z reguły ilorazu $\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}$, gdzie $f = h^3$, $g = h^2 - 25$:
$$f' = 3h^2, \qquad g' = 2h$$
$$V'(h) = \frac{25\pi}{3} \cdot \frac{3h^2(h^2-25) - h^3 \cdot 2h}{(h^2-25)^2}$$
Upraszczamy licznik:
$$3h^2(h^2-25) - 2h^4 = 3h^4 - 75h^2 - 2h^4 = h^4 - 75h^2 = h^2(h^2 - 75)$$
Zatem:
$$V'(h) = \frac{25\pi}{3} \cdot \frac{h^2(h^2 - 75)}{(h^2-25)^2}$$
-
Krok 2: Wyznaczenie punktów krytycznych
Szukamy miejsc zerowych pochodnej na $(5, +\infty)$. Mianownik $(h^2-25)^2 > 0$ dla $h > 5$, a $h^2 > 0$, więc:
$$V'(h) = 0 \iff h^2 - 75 = 0 \iff h^2 = 75 \iff h = 5\sqrt{3}$$
(odrzucamy $h = -5\sqrt{3}$, bo $h > 5$). Punkt krytyczny: $h = 5\sqrt{3}$.
-
Krok 3: Badanie znaku pochodnej (analiza monotoniczności)
Czynnik $\dfrac{25\pi}{3} \cdot \dfrac{h^2}{(h^2-25)^2} > 0$ zawsze dla $h > 5$, więc znak $V'(h)$ zależy od $(h^2 - 75)$:
- Dla $h \in (5,\ 5\sqrt{3})$: $h^2 < 75$, więc $h^2 - 75 < 0$, zatem $V'(h) < 0$ — funkcja maleje.
- Dla $h \in (5\sqrt{3},\ +\infty)$: $h^2 > 75$, więc $h^2 - 75 > 0$, zatem $V'(h) > 0$ — funkcja rośnie.
Funkcja $V$ maleje, a następnie rośnie, więc w punkcie $h = 5\sqrt{3}$ przyjmuje minimum lokalne (i globalne na całej dziedzinie).
-
Krok 4: Obliczenie najmniejszej objętości
Podstawiamy $h = 5\sqrt{3}$ do wzoru na $V(h)$:
$$h^2 = 75, \qquad h^3 = (5\sqrt{3})^3 = 125 \cdot 3\sqrt{3} = 375\sqrt{3}$$
$$h^2 - 25 = 75 - 25 = 50$$
$$V(5\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{25 \cdot 375\sqrt{3}}{50} = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{9375\sqrt{3}}{50} = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{375\sqrt{3}}{2}$$
$$V(5\sqrt{3}) = \frac{375\sqrt{3}\,\pi}{6} = \frac{125\sqrt{3}\,\pi}{2}$$
Odpowiedź: Najmniejsza objętość jest osiągana dla wysokości
$$\boxed{h = 5\sqrt{3}}$$
i wynosi:
$$\boxed{V_{\min} = \frac{125\sqrt{3}\,\pi}{2}}$$