LekcjeRazem

Rozwiązanie zadania — wyznaczanie wartości parametru $m$.

1. Krok 1: Warunek na dwa miejsca zerowe (dodatni wyróżnik)

   Funkcja $f(x) = (2-m)x^2 - 2(2m+1)x + m + 8$ jest parabolą (dla $m \neq 2$). Aby miała dokładnie dwa miejsca zerowe, wyróżnik musi być dodatni:

   $$\Delta = [2(2m+1)]^2 - 4(2-m)(m+8) > 0$$ $$\Delta = 4(2m+1)^2 - 4(2-m)(m+8)$$ $$= 4(4m^2 + 4m + 1) - 4(16 + 2m - m^2 - 8m)$$ $$= 4(4m^2 + 4m + 1) - 4(16 - 6m - m^2)$$ $$= 4(4m^2 + 4m + 1 - 16 + 6m + m^2)$$ $$= 4(5m^2 + 10m - 15)$$ $$= 20(m^2 + 2m - 3) = 20(m+3)(m-1)$$

   Warunek $\Delta > 0$: $(m+3)(m-1) > 0$, czyli $m < -3$ lub $m > 1$.

2. Krok 2: Warunek, że oba miejsca zerowe mają ten sam znak

   Korzystamy z wzorów Viète'a dla pierwiastków $x_1, x_2$:

   $$x_1 + x_2 = \frac{2(2m+1)}{2-m}, \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{m+8}{2-m}$$

   Oba pierwiastki mają ten sam znak wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn jest dodatni:

   $$x_1 \cdot x_2 > 0 \implies \frac{m+8}{2-m} > 0$$

   Iloraz jest dodatni gdy licznik i mianownik mają ten sam znak:

   • $m + 8 > 0$ i $2 - m > 0$, czyli $-8 < m < 2$,
   • $m + 8 < 0$ i $2 - m < 0$, czyli $m < -8$ i $m > 2$ — sprzeczność.

   Zatem $x_1 \cdot x_2 > 0 \iff -8 < m < 2$.

   Łącząc z warunkiem $\Delta > 0$: $(m < -3$ lub $m > 1)$ oraz $(-8 < m < 2)$:

   $$m \in (-8, -3) \cup (1, 2)$$
3. Krok 3: Warunek $(x_1 - x_2)^2 \leq 180$

   Korzystamy z tożsamości:

   $$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2 = \frac{\Delta}{(2-m)^2}$$ $$= \frac{20(m+3)(m-1)}{(2-m)^2}$$

   Warunek:

   $$\frac{20(m+3)(m-1)}{(2-m)^2} \leq 180$$

   Ponieważ $(2-m)^2 > 0$, możemy pomnożyć obie strony przez $(2-m)^2$:

   $$20(m+3)(m-1) \leq 180(2-m)^2$$ $$(m+3)(m-1) \leq 9(2-m)^2$$ $$m^2 + 2m - 3 \leq 9(4 - 4m + m^2)$$ $$m^2 + 2m - 3 \leq 36 - 36m + 9m^2$$ $$0 \leq 8m^2 - 38m + 39$$

   Wyróżnik: $\Delta' = 38^2 - 4 \cdot 8 \cdot 39 = 1444 - 1248 = 196 = 14^2$

   $$m = \frac{38 \pm 14}{16}$$ $$m_1 = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}, \qquad m_2 = \frac{52}{16} = \frac{13}{4}$$

   Zatem $8m^2 - 38m + 39 \geq 0 \iff m \leq \frac{3}{2}$ lub $m \geq \frac{13}{4}$.

4. Krok 4: Połączenie wszystkich warunków

   Szukamy $m$ należącego do $(-8,-3) \cup (1,2)$, które jednocześnie spełnia $m \leq \frac{3}{2}$ lub $m \geq \frac{13}{4}$.

   • Dla $m \in (-8, -3)$: wszystkie te wartości spełniają $m \leq \frac{3}{2}$, więc cały przedział należy do rozwiązania.
   • Dla $m \in (1, 2)$: część spełniająca $m \leq \frac{3}{2}$ to $(1, \frac{3}{2}]$. Wartości $m > \frac{3}{2}$ z przedziału $(1,2)$ nie spełniają warunku (bo $\frac{13}{4} > 2$). Sprawdzamy $m = \frac{3}{2}$: należy do $(1,2)$, $\Delta > 0$ ✓, iloczyn pierwiastków $> 0$ ✓, $(x_1-x_2)^2 = 180 \leq 180$ ✓.

Wynik końcowy:

Funkcja $f$ ma dokładnie dwa miejsca zerowe tego samego znaku spełniające warunek $(x_1-x_2)^2 \leq 180$ dla: