LekcjeRazem

Ostrosłup $ABCDS$ ma podstawę kwadratową $ABCD$ z krawędzią podstawy $a = 3\sqrt{34}$, a krawędź $SA$ jest jego wysokością.

1. Ustalenie układu współrzędnych i oznaczeń

   Ponieważ $SA$ jest wysokością ostrosłupa, wierzchołek $S$ leży dokładnie nad punktem $A$. Przyjmijmy układ współrzędnych:

   $$A = (0, 0, 0), \quad B = (a, 0, 0), \quad C = (a, a, 0), \quad D = (0, a, 0), \quad S = (0, 0, h)$$

   gdzie $a = 3\sqrt{34}$ jest długością krawędzi podstawy, a $h$ — szukaną wysokością.

2. Wyznaczenie wektora normalnego do ściany $CDS$

   Ściana $CDS$ zawiera punkty $C = (a,a,0)$, $D = (0,a,0)$, $S = (0,0,h)$.

   Wyznaczamy dwa wektory leżące w tej płaszczyźnie:

   $$\vec{DC} = C - D = (a, 0, 0), \qquad \vec{DS} = S - D = (0, -a, h)$$

   Wektor normalny $\vec{n_1} = \vec{DC} \times \vec{DS}$:

   $$\vec{n_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a & 0 & 0 \\ 0 & -a & h \end{vmatrix} = (0 \cdot h - 0 \cdot (-a))\vec{i} - (a \cdot h - 0 \cdot 0)\vec{j} + (a \cdot (-a) - 0 \cdot 0)\vec{k}$$ $$\vec{n_1} = (0,\ -ah,\ -a^2)$$

3. Wyznaczenie wektora normalnego do ściany $BCS$

   Ściana $BCS$ zawiera punkty $B = (a,0,0)$, $C = (a,a,0)$, $S = (0,0,h)$.

   Dwa wektory w tej płaszczyźnie:

   $$\vec{CB} = B - C = (0, -a, 0), \qquad \vec{CS} = S - C = (-a, -a, h)$$

   Wektor normalny $\vec{n_2} = \vec{CB} \times \vec{CS}$:

   $$\vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & -a & 0 \\ -a & -a & h \end{vmatrix} = ((-a)\cdot h - 0 \cdot (-a))\vec{i} - (0 \cdot h - 0 \cdot (-a))\vec{j} + (0 \cdot (-a) - (-a)(-a))\vec{k}$$ $$\vec{n_2} = (-ah,\ 0,\ -a^2)$$

4. Obliczenie kąta $\beta$ między ścianami

   Cosinus kąta między płaszczyznami wyznaczamy ze wzoru:

   $$\cos\beta = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}$$

   Iloczyn skalarny:

   $$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (0)(-ah) + (-ah)(0) + (-a^2)(-a^2) = a^4$$

   Długości wektorów normalnych:

   $$|\vec{n_1}| = \sqrt{0 + a^2h^2 + a^4} = a\sqrt{h^2 + a^2}$$ $$|\vec{n_2}| = \sqrt{a^2h^2 + 0 + a^4} = a\sqrt{h^2 + a^2}$$

   Zatem:

   $$\cos\beta = \frac{a^4}{a\sqrt{h^2+a^2} \cdot a\sqrt{h^2+a^2}} = \frac{a^4}{a^2(h^2+a^2)} = \frac{a^2}{h^2+a^2}$$

   Jednakże kąt $\beta$ jest kątem dwuściennym mierzonym wewnątrz ostrosłupa (między ścianami), a wektory normalne wskazują na zewnątrz — rzeczywisty cosinus kąta dwuściennego to:

   $$\cos\beta = -\frac{a^2}{h^2+a^2}$$

   Z warunkiem zadania:

   $$-\frac{a^2}{h^2+a^2} = -\frac{9}{25}$$ $$\frac{a^2}{h^2+a^2} = \frac{9}{25}$$

5. Wyznaczenie wysokości $h$

   Z równania:

   $$25a^2 = 9(h^2 + a^2)$$ $$25a^2 - 9a^2 = 9h^2$$ $$16a^2 = 9h^2$$ $$h^2 = \frac{16a^2}{9}$$ $$h = \frac{4a}{3}$$

   Podstawiając $a = 3\sqrt{34}$:

   $$h = \frac{4 \cdot 3\sqrt{34}}{3} = 4\sqrt{34}$$

6. Obliczenie długości krawędzi bocznych

   Przy $A=(0,0,0)$, $B=(a,0,0)$, $C=(a,a,0)$, $D=(0,a,0)$, $S=(0,0,h)$:

   • $SA = h = 4\sqrt{34}$
   • $SB = \sqrt{a^2 + h^2} = \sqrt{(3\sqrt{34})^2 + (4\sqrt{34})^2} = \sqrt{9\cdot34 + 16\cdot34} = \sqrt{25\cdot34} = 5\sqrt{34}$
   • $SC = \sqrt{a^2 + a^2 + h^2} = \sqrt{2a^2 + h^2} = \sqrt{2\cdot306 + 544} = \sqrt{612+544} = \sqrt{1156} = 34$
   • $SD = \sqrt{a^2 + h^2} = 5\sqrt{34}$ (symetrycznie jak $SB$)

7. Obliczenie pól ścian bocznych

   Ściana $SAB$ (trójkąt prostokątny — $SA \perp AB$, bo $S$ jest nad $A$):

   $$P_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{34} \cdot 3\sqrt{34} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 34 = 204$$

   Ściana $SAD$ (trójkąt prostokątny — $SA \perp AD$):

   $$P_{SAD} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{34} \cdot 3\sqrt{34} = 204$$

   Ściana $SBC$ — trójkąt o krawędziach $SB = 5\sqrt{34}$, $SC = 34$, $BC = 3\sqrt{34}$.

   Obliczamy pole metodą Herona. Półobwód:

   $$s = \frac{5\sqrt{34}+34+3\sqrt{34}}{2} = \frac{8\sqrt{34}+34}{2} = 4\sqrt{34}+17$$

   Alternatywnie — liczymy pole ze wzoru na pole trójkąta przez wyznacznik (wektory).

   $B=(a,0,0)$, $C=(a,a,0)$, $S=(0,0,h)$. Wektory z $B$:

   $$\vec{BC} = (0, a, 0), \quad \vec{BS} = (-a, 0, h)$$ $$\vec{BC} \times \vec{BS} = (ah, 0, 0) - (0, ...) = \begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\0&a&0\\-a&0&h\end{vmatrix} = (ah-0)\vec{i} - (0-0)\vec{j} + (0-(-a^2))\vec{k} = (ah, 0, a^2)$$ $$|\vec{BC}\times\vec{BS}| = \sqrt{a^2h^2 + a^4} = a\sqrt{h^2+a^2}$$ $$P_{SBC} = \frac{1}{2}a\sqrt{h^2+a^2} = \frac{1}{2}\cdot 3\sqrt{34}\cdot\sqrt{16\cdot34+9\cdot34} = \frac{1}{2}\cdot 3\sqrt{34}\cdot\sqrt{25\cdot34}$$ $$= \frac{1}{2}\cdot 3\sqrt{34}\cdot 5\sqrt{34} = \frac{1}{2}\cdot 15\cdot 34 = 255$$

   Ściana $SCD$ — symetrycznie jak $SBC$, bo $SD = SB$ oraz $CD = BC = a$:

   $$P_{SCD} = 255$$

8. Obliczenie pola powierzchni bocznej

   $$P_{\text{boczna}} = P_{SAB} + P_{SAD} + P_{SBC} + P_{SCD}$$ $$P_{\text{boczna}} = 204 + 204 + 255 + 255 = 918$$

Wynik końcowy:

$$\boxed{P_{\text{b