Rozwiązanie równania: $3\cos^2 x + \sqrt{3}\sin(2x) - 3\sin^2 x = 0$ w przedziale $[-\pi, \pi]$
-
Krok 1: Przekształcenie wyrażenia $3\cos^2 x - 3\sin^2 x$
Korzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kąta:
$$\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$$
Zatem:
$$3\cos^2 x - 3\sin^2 x = 3(\cos^2 x - \sin^2 x) = 3\cos(2x)$$
-
Krok 2: Przekształcenie wyrażenia $\sqrt{3}\sin(2x)$
Korzystamy ze wzoru na sinus podwojonego kąta:
$$\sin(2x) = 2\sin x \cos x$$
Wyrażenie $\sqrt{3}\sin(2x)$ pozostawiamy w tej postaci — jest już zapisane za pomocą funkcji podwojonego kąta.
-
Krok 3: Podstawienie do równania
Równanie przyjmuje postać:
$$3\cos(2x) + \sqrt{3}\sin(2x) = 0$$
-
Krok 4: Wyłączenie czynnika i uproszczenie
Dzielimy obie strony przez $\cos(2x)$ — ale najpierw sprawdzamy, kiedy $\cos(2x) = 0$. Jeśli $\cos(2x) = 0$, to $3\cos(2x) = 0$, a równanie wymagałoby $\sqrt{3}\sin(2x) = 0$, co razem z $\cos(2x) = 0$ jest niemożliwe (bo $\sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1$). Zatem $\cos(2x) \neq 0$ i możemy podzielić:
$$\frac{3\cos(2x) + \sqrt{3}\sin(2x)}{\cos(2x)} = 0$$
$$3 + \sqrt{3}\tan(2x) = 0$$
$$\tan(2x) = -\frac{3}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3}$$
-
Krok 5: Rozwiązanie równania $\tan(2x) = -\sqrt{3}$
Wiemy, że $\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$, zatem:
$$\tan(2x) = -\sqrt{3} \implies 2x = -\frac{\pi}{3} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$
$$x = -\frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$$
-
Krok 6: Wyznaczenie rozwiązań należących do przedziału $[-\pi, \pi]$
Podstawiamy kolejne wartości $k$:
- $k = -2$: $\quad x = -\frac{\pi}{6} + \frac{-2\pi}{2} = -\frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{7\pi}{6} \notin [-\pi, \pi]$ — poza przedziałem
- $k = -1$: $\quad x = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{6} - \frac{3\pi}{6} = -\frac{4\pi}{6} = -\frac{2\pi}{3} \in [-\pi, \pi]$ ✓
- $k = 0$: $\quad x = -\frac{\pi}{6} \in [-\pi, \pi]$ ✓
- $k = 1$: $\quad x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \in [-\pi, \pi]$ ✓
- $k = 2$: $\quad x = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6} \in [-\pi, \pi]$ ✓
- $k = 3$: $\quad x = -\frac{\pi}{6} + \frac{3\pi}{2} = \frac{4\pi}{3} \notin [-\pi, \pi]$ — poza przedziałem
Odpowiedź końcowa:
Rozwiązaniami równania w przedziale $[-\pi, \pi]$ są:
$$\boxed{x = -\frac{2\pi}{3}, \quad x = -\frac{\pi}{6}, \quad x = \frac{\pi}{3}, \quad x = \frac{5\pi}{6}}$$