LekcjeRazem

Rozwiązanie

1. Krok 1: Wyznaczenie punktów przecięcia okręgów $\mathcal{O}_1$ i $\mathcal{O}_2$

   Odejmujemy równanie $\mathcal{O}_1$ od równania $\mathcal{O}_2$, aby wyeliminować wyrazy kwadratowe:

   $$\left[(x-2)^2 + (y-4)^2\right] - \left[(x-1)^2 + (y+3)^2\right] = 45 - 5$$

   Rozwijamy:

   $$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 8y + 16) - (x^2 - 2x + 1) - (y^2 + 6y + 9) = 40$$ $$-4x + 4 - 8y + 16 + 2x - 1 - 6y - 9 = 40$$ $$-2x - 14y + 10 = 40$$ $$-2x - 14y = 30$$ $$x + 7y = -15$$

   Stąd otrzymujemy równanie cięciwy (prostej $AB$):

   $$x = -15 - 7y$$
2. Krok 2: Podstawienie do równania $\mathcal{O}_1$

   Wstawiamy $x = -15 - 7y$ do równania okręgu $\mathcal{O}_1$:

   $$(-15 - 7y - 1)^2 + (y + 3)^2 = 5$$ $$(-16 - 7y)^2 + (y + 3)^2 = 5$$ $$(16 + 7y)^2 + (y + 3)^2 = 5$$ $$256 + 224y + 49y^2 + y^2 + 6y + 9 = 5$$ $$50y^2 + 230y + 265 = 5$$ $$50y^2 + 230y + 260 = 0$$ $$y^2 + \frac{23}{5}y + \frac{26}{5} = 0$$

   Mnożymy przez $\frac{1}{10}$, czyli dzielimy całe równanie przez $10$:

   $$5y^2 + 23y + 26 = 0$$
3. Krok 3: Rozwiązanie równania kwadratowego

   Obliczamy wyróżnik:

   $$\Delta = 23^2 - 4 \cdot 5 \cdot 26 = 529 - 520 = 9$$ $$\sqrt{\Delta} = 3$$

   Pierwiastki:

   $$y_1 = \frac{-23 + 3}{10} = \frac{-20}{10} = -2$$ $$y_2 = \frac{-23 - 3}{10} = \frac{-26}{10} = -\frac{13}{5}$$
4. Krok 4: Wyznaczenie współrzędnych $x$

   Korzystamy ze wzoru $x = -15 - 7y$:

   • Dla $y_1 = -2$: $\quad x_1 = -15 - 7 \cdot (-2) = -15 + 14 = -1$
   • Dla $y_2 = -\dfrac{13}{5}$: $\quad x_2 = -15 - 7 \cdot \left(-\dfrac{13}{5}\right) = -15 + \dfrac{91}{5} = \dfrac{-75 + 91}{5} = \dfrac{16}{5}$

   Otrzymujemy dwa punkty: $(-1,\, -2)$ oraz $\left(\dfrac{16}{5},\, -\dfrac{13}{5}\right)$.

   Punkt $A$ ma pierwszą współrzędną dodatnią, więc:

   $$A = \left(\frac{16}{5},\ -\frac{13}{5}\right), \qquad B = (-1,\ -2)$$
5. Krok 5: Wyznaczenie punktu $M$

   Warunek $\overrightarrow{AM} = -2\cdot\overrightarrow{BM}$ oznacza:

   $$M - A = -2(M - B)$$ $$M - A = -2M + 2B$$ $$3M = A + 2B$$ $$M = \frac{A + 2B}{3}$$

   Obliczamy współrzędne:

   $$M_x = \frac{\dfrac{16}{5} + 2\cdot(-1)}{3} = \frac{\dfrac{16}{5} - 2}{3} = \frac{\dfrac{16-10}{5}}{3} = \frac{\dfrac{6}{5}}{3} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$$ $$M_y = \frac{-\dfrac{13}{5} + 2\cdot(-2)}{3} = \frac{-\dfrac{13}{5} - 4}{3} = \frac{\dfrac{-13-20}{5}}{3} = \frac{-\dfrac{33}{5}}{3} = -\frac{33}{15} = -\frac{11}{5}$$

Wynik końcowy

$$\boxed{A = \left(\frac{16}{5},\ -\frac{13}{5}\right), \qquad B = \left(-1,\ -2\right), \qquad M = \left(\frac{2}{5},\ -\frac{11}{5}\right)}$$