Rozwiązanie
Rozwiązujemy nierówność $|x - 2| - 2 \cdot |x + 3| < -2$, czyli $|x - 2| - 2|x + 3| + 2 < 0$.
Wyznaczamy miejsca zerowe wyrażeń pod znakami wartości bezwzględnej:
- $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$
- $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$
Dzielimy oś liczbową na trzy przedziały: $(-\infty, -3)$, $[-3, 2)$, $[2, +\infty)$.
-
Krok 1: Przedział $x \in (-\infty, -3)$
W tym przedziale: $x - 2 < 0$, więc $|x-2| = -(x-2) = -x+2$; oraz $x + 3 < 0$, więc $|x+3| = -(x+3) = -x-3$.
Nierówność przyjmuje postać:
$$(-x + 2) - 2(-x - 3) < -2$$
$$-x + 2 + 2x + 6 < -2$$
$$x + 8 < -2$$
$$x < -10$$
Część wspólna z przedziałem $(-\infty, -3)$: $\quad x \in (-\infty, -10)$.
-
Krok 2: Przedział $x \in [-3, 2)$
W tym przedziale: $x - 2 < 0$, więc $|x-2| = -x+2$; oraz $x + 3 \geq 0$, więc $|x+3| = x+3$.
Nierówność przyjmuje postać:
$$(-x + 2) - 2(x + 3) < -2$$
$$-x + 2 - 2x - 6 < -2$$
$$-3x - 4 < -2$$
$$-3x < 2$$
$$x > -\frac{2}{3}$$
Część wspólna z przedziałem $[-3, 2)$: $\quad x \in \left(-\frac{2}{3},\ 2\right)$.
-
Krok 3: Przedział $x \in [2, +\infty)$
W tym przedziale: $x - 2 \geq 0$, więc $|x-2| = x-2$; oraz $x + 3 > 0$, więc $|x+3| = x+3$.
Nierówność przyjmuje postać:
$$(x - 2) - 2(x + 3) < -2$$
$$x - 2 - 2x - 6 < -2$$
$$-x - 8 < -2$$
$$-x < 6$$
$$x > -6$$
Część wspólna z przedziałem $[2, +\infty)$: $\quad x \in [2, +\infty)$.
-
Krok 4: Suma rozwiązań
Łączymy rozwiązania ze wszystkich trzech przedziałów:
$$x \in (-\infty,\ -10) \cup \left(-\frac{2}{3},\ 2\right) \cup [2,\ +\infty)$$
Przedziały $\left(-\frac{2}{3},\ 2\right)$ oraz $[2,\ +\infty)$ możemy połączyć w jeden:
$$x \in \left(-\frac{2}{3},\ +\infty\right)$$
Wynik końcowy
$$\boxed{x \in \left(-\infty,\ -10\right) \cup \left(-\frac{2}{3},\ +\infty\right)}$$