Rozwiązanie zadania – ciąg geometryczny zbieżny.
-
Krok 1: Wyznaczenie $a_1 \cdot a_3$ z układu równań.
Dane są warunki:
$$a_1 + a_3 = 20, \qquad a_1^2 + a_3^2 = 328.$$
Korzystamy z tożsamości algebraicznej:
$$(a_1 + a_3)^2 = a_1^2 + 2a_1 a_3 + a_3^2$$
$$20^2 = 328 + 2a_1 a_3$$
$$400 = 328 + 2a_1 a_3$$
$$2a_1 a_3 = 72 \implies a_1 a_3 = 36.$$
-
Krok 2: Wyznaczenie ilorazu ciągu geometrycznego $q$.
Ponieważ ciąg jest geometryczny, zachodzi:
$$a_3 = a_1 \cdot q^2.$$
Zatem:
$$a_1 \cdot a_3 = a_1 \cdot (a_1 q^2) = a_1^2 q^2 = 36.$$
Stąd $a_1 q = \pm 6$, czyli $(a_1 q)^2 = 36$.
Podstawiamy do sumy:
$$a_1 + a_1 q^2 = 20 \implies a_1(1 + q^2) = 20.$$
Oraz z iloczynu: $a_1^2 q^2 = 36$, więc $a_1^2 = \dfrac{36}{q^2}$, skąd $a_1 = \dfrac{6}{|q|}$ (rozważymy znaki poniżej).
Wygodniej jest wyznaczyć $a_1$ i $a_3$ jako pierwiastki równania kwadratowego. Z warunków:
$$a_1 + a_3 = 20, \qquad a_1 \cdot a_3 = 36.$$
Są one pierwiastkami równania:
$$t^2 - 20t + 36 = 0.$$
$$\Delta = 400 - 144 = 256, \qquad \sqrt{\Delta} = 16.$$
$$t_1 = \frac{20 + 16}{2} = 18, \qquad t_2 = \frac{20 - 16}{2} = 2.$$
Zatem $(a_1, a_3) \in \{(18,\, 2),\; (2,\, 18)\}$.
-
Krok 3: Warunek zbieżności ciągu geometrycznego.
Nieskończony ciąg geometryczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy $|q| < 1$ (wówczas wyrazy dążą do $0$ i istnieje suma $S = \dfrac{a_1}{1-q}$) lub $q = 0$ (ciąg stały równy $0$ od pewnego miejsca, ale wtedy $a_1 = 0$, co tu nie zachodzi).
Wyznaczamy $q^2 = \dfrac{a_3}{a_1}$ dla każdego przypadku:
- Przypadek I: $a_1 = 18,\; a_3 = 2$: $\quad q^2 = \dfrac{a_3}{a_1} = \dfrac{2}{18} = \dfrac{1}{9}$, więc $q = \pm\dfrac{1}{3}$. Oba spełniają $|q| < 1$ ✓
- Przypadek II: $a_1 = 2,\; a_3 = 18$: $\quad q^2 = \dfrac{18}{2} = 9$, więc $q = \pm 3$. Oba dają $|q| > 1$ – ciąg rozbieżny ✗
Zatem rozpatrujemy wyłącznie Przypadek I: $a_1 = 18$ i $q = \pm\dfrac{1}{3}$.
-
Krok 4: Obliczenie sumy ciągu dla obu dopuszczalnych wartości $q$.
Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego zbieżnego:
$$S = \frac{a_1}{1 - q}.$$
Podprzypadek A: $q = \dfrac{1}{3}$
Sprawdzenie: $a_2 = a_1 \cdot q = 18 \cdot \dfrac{1}{3} = 6$, $a_3 = 6 \cdot \dfrac{1}{3} = 2$ ✓
$$S = \frac{18}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{18}{\frac{2}{3}} = 18 \cdot \frac{3}{2} = 27.$$
Podprzypadek B: $q = -\dfrac{1}{3}$
Sprawdzenie: $a_2 = 18 \cdot \left(-\dfrac{1}{3}\right) = -6$, $a_3 = -6 \cdot \left(-\dfrac{1}{3}\right) = 2$ ✓
$$S = \frac{18}{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)} = \frac{18}{\frac{4}{3}} = 18 \cdot \frac{3}{4} = \frac{54}{4} = \frac{27}{2}.$$
-
Krok 5: Podsumowanie wyników.
Istnieją dwa przypadki spełniające wszystkie warunki zadania:
- Dla $a_1 = 18$, $q = \dfrac{1}{3}$: suma ciągu wynosi $S = \boldsymbol{27}$.
- Dla $a_1 = 18$, $q = -\dfrac{1}{3}$: suma ciągu wynosi $S = \boldsymbol{\dfrac{27}{2}}$.
Odpowiedź: Suma wszystkich wyrazów ciągu wynosi $S = 27$ (gdy $q = \tfrac{1}{3}$) lub $S = \dfrac{27}{2}$ (gdy $q = -\tfrac{1}{3}$).