Szukamy prawdopodobieństwa warunkowego zdarzenia A = „co najmniej raz wypadnie 6 oczek", pod warunkiem zajścia zdarzenia B = „dokładnie dwa razy wypadnie 5 oczek".
-
Krok 1 – Definicja prawdopodobieństwa warunkowego
Korzystamy ze wzoru:
$$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$
-
Krok 2 – Obliczenie $P(B)$, czyli prawdopodobieństwa zdarzenia „dokładnie dwa razy wypadnie 5 oczek"
W każdym rzucie prawdopodobieństwo wypadnięcia 5 oczek wynosi $\frac{1}{6}$, a wypadnięcia innego wyniku niż 5 wynosi $\frac{5}{6}$. Liczba rzutów $n = 4$, szukana liczba sukcesów $k = 2$. Stosujemy schemat Bernoulliego:
$$P(B) = \binom{4}{2} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2 = 6 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{25}{36} = \frac{150}{1296} = \frac{25}{216}$$
-
Krok 3 – Wyznaczenie zdarzenia $A \cap B$
Zdarzenie $A \cap B$ oznacza: „dokładnie dwa razy wypadnie 5 oczek oraz co najmniej raz wypadnie 6 oczek".
Ponieważ mamy 4 rzuty, a dokładnie 2 z nich dało 5 oczek, pozostałe 2 rzuty muszą dać wynik różny od 5. Zdarzenie $A \cap B$ zachodzi wtedy, gdy wśród tych 2 rzutów przynajmniej jeden da 6 oczek.
Zdarzenie dopełniające do $A \cap B$ względem $B$ to: „dokładnie dwa razy wypadnie 5 oczek oraz ani razu nie wypadnie 6 oczek" (tzn. pozostałe 2 rzuty dają wynik z {1, 2, 3, 4}).
-
Krok 4 – Obliczenie $P(A \cap B)$
W zdarzeniu $A \cap B$: dokładnie 2 rzuty dają 5 (prawdopodobieństwo $\frac{1}{6}$ każdy), a pozostałe 2 rzuty dają wynik z {1, 2, 3, 4, 6}, przy czym przynajmniej jeden z nich to 6.
Prawdopodobieństwo, że jeden rzut daje wynik z {1, 2, 3, 4, 6} (czyli różny od 5) wynosi $\frac{5}{6}$.
Prawdopodobieństwo, że jeden rzut daje wynik z {1, 2, 3, 4} (różny od 5 i różny od 6) wynosi $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
Dla 2 rzutów „bez piątki": prawdopodobieństwo, że żaden z nich nie da 6 wynosi $\left(\frac{4}{6}\right)^2 = \frac{16}{36}$, więc prawdopodobieństwo, że co najmniej jeden da 6 wynosi:
$$1 - \left(\frac{4}{6}\right)^2 = 1 - \frac{16}{36} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}$$
Zatem:
$$P(A \cap B) = \binom{4}{2} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{9}\right) \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^0 \cdot \ldots$$
Precyzyjnie: wybieramy 2 spośród 4 rzutów na wynik „5" ($\binom{4}{2}$ sposobów), każdy daje 5 z prawdopodobieństwem $\frac{1}{6}$, a pozostałe 2 rzuty spełniają warunek „co najmniej jedno 6 wśród wyników różnych od 5":
$$P(A \cap B) = \binom{4}{2} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \frac{20}{36} = 6 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{20}{36} = \frac{120}{1296} = \frac{5}{54}$$
-
Krok 5 – Obliczenie prawdopodobieństwa warunkowego
$$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\dfrac{5}{54}}{\dfrac{25}{216}} = \frac{5}{54} \cdot \frac{216}{25} = \frac{5 \cdot 216}{54 \cdot 25} = \frac{1080}{1350} = \frac{4}{5}$$
Wynik końcowy:
$$\boxed{P(A \mid B) = \frac{4}{5}}$$
Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy co najmniej raz 6 oczek, pod warunkiem że otrzymamy dokładnie dwa razy 5 oczek, wynosi $\dfrac{4}{5}$.