LekcjeRazem

Rozwiązanie zadania — kąt DAC w trójkącie równobocznym.

1. Krok 1 – Oznaczenia i dane.

   Niech $ABC$ będzie trójkątem równobocznym o boku długości $a$. Punkt $D$ leży na boku $BC$, więc oznaczamy:

   $$BD = x, \quad DC = a - x, \quad \text{gdzie } 0 < x < a.$$

2. Krok 2 – Wyznaczenie podziału boku $BC$ z warunku na pola.

   Trójkąty $ABD$ i $ADC$ mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka $A$ na prostą $BC$, oznaczmy ją $h$. Zatem:

   $$P_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot h = \frac{1}{2} x h, \qquad P_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot h = \frac{1}{2}(a-x)h.$$

   Stosunek pól:

   $$\frac{P_{ABD}}{P_{ADC}} = \frac{x}{a - x} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}.$$

   Rozwiązujemy równanie (przyjmując dla wygody $a = 1$):

   $$2x = (\sqrt{3}-1)(1-x)$$ $$2x = \sqrt{3} - 1 - (\sqrt{3}-1)x$$ $$2x + (\sqrt{3}-1)x = \sqrt{3}-1$$ $$x(\sqrt{3}+1) = \sqrt{3}-1$$ $$x = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{4-2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}.$$

   Tak więc $BD = 2 - \sqrt{3}$ oraz $DC = 1 - (2-\sqrt{3}) = \sqrt{3} - 1$.

3. Krok 3 – Wyznaczenie kąta $DAC$.

   Kąt $\angle DAC$ jest kątem przy wierzchołku $A$ w trójkącie $ADC$. Skorzystamy z wzoru na pole trójkąta $ADC$. Ponieważ $\angle BAC = 60°$ (trójkąt równoboczny), mamy $\angle DAC = 60° - \angle DAB$.

   Użyjemy wzoru na pole trójkąta $ADC$ przez dwa boki i kąt między nimi. Znamy:

   • $AC = a = 1$,
   • $DC = \sqrt{3}-1$,
   • kąt $\angle ACD = 60°$ (kąt trójkąta równobocznego).

   Skorzystamy z twierdzenia sinusów w trójkącie $ADC$. Mamy $\angle ACD = 60°$, $AC = 1$, $DC = \sqrt{3}-1$. Szukamy $\angle DAC$.

   Stosując twierdzenie sinusów w $\triangle ADC$:

   $$\frac{DC}{\sin(\angle DAC)} = \frac{AC}{\sin(\angle ADC)}.$$

   Jednak wygodniejsze jest bezpośrednie podejście przez tangens. Kąt $\angle DAC$ wyznaczamy, korzystając z pola:

   $$P_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DC \cdot \sin(\angle ACD) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (\sqrt{3}-1) \cdot \sin 60° = \frac{\sqrt{3}-1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{4} = \frac{3-\sqrt{3}}{4}.$$

   Wysokość $h$ trójkąta równobocznego o boku 1 wynosi $h = \frac{\sqrt{3}}{2}$, więc:

   $$P_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot h = \frac{1}{2}(\sqrt{3}-1)\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3-\sqrt{3}}{4}. \checkmark$$

   Teraz w trójkącie $ADC$ szukamy kąta $\angle DAC$ metodą sinusów. Wyznaczamy najpierw długość $AD$. Z twierdzenia cosinusów w $\triangle ADC$:

   $$AD^2 = AC^2 + DC^2 - 2 \cdot AC \cdot DC \cdot \cos(\angle ACD)$$ $$AD^2 = 1 + (\sqrt{3}-1)^2 - 2 \cdot 1 \cdot (\sqrt{3}-1) \cdot \cos 60°$$ $$AD^2 = 1 + (4 - 2\sqrt{3}) - 2(\sqrt{3}-1)\cdot\frac{1}{2}$$ $$AD^2 = 5 - 2\sqrt{3} - (\sqrt{3}-1) = 5 - 2\sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 = 6 - 3\sqrt{3} = 3(2-\sqrt{3}).$$

   Twierdzenie sinusów w $\triangle ADC$:

   $$\frac{\sin(\angle DAC)}{DC} = \frac{\sin(\angle ACD)}{AD}$$ $$\sin(\angle DAC) = \frac{DC \cdot \sin 60°}{AD} = \frac{(\sqrt{3}-1)\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3(2-\sqrt{3})}}.$$

   Obliczamy licznik: $(\sqrt{3}-1)\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3-\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{2}$.

   Mianownik: $\sqrt{3(2-\sqrt{3})} = \sqrt{6-3\sqrt{3}}$. Sprawdźmy, czy $\angle DAC = 15°$:

   $$\sin 15° = \sin(45°-30°) = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}.$$

   Weryfikujemy, czy $\sin(\angle DAC) = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$:

   $$\sin(\angle DAC) = \frac{(3-\sqrt{3})/2}{\sqrt{3(2-\sqrt{3})}}.$$

   Liczymy $\left(\frac{3-\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{(3-\sqrt{3})^2}{4} = \frac{9-6\sqrt{3}+3}{4} = \frac{12-6\sqrt{3}}{4} = \frac{6(2-\sqrt{3})}{4}$.

   Natomiast $\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\right)^2 = \frac{6-2\sqrt{12}+2}{16} = \frac{8-4\sqrt{3}}{16} = \frac{2-\sqrt{3}}{4}$.

   Porównujemy:

   $$\sin^2(\angle DAC) = \frac{(3-\sqrt{3})^2/4}{3(2-\sqrt{3})} = \frac{6(2-\sqrt{3})/4}{3(2-\sqrt{3})} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}.$$

   Zatem $\sin^2(\angle DAC) = \dfrac{1}{2}$, czyli $\sin(\angle DAC) = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

   Skąd $\angle DAC = 45°$ lub $\angle DAC = 135°$. Ponieważ $\angle DAC < \angle BAC = 60°$, przyjmujemy:

   $$\boxed{\angle DAC = 45°.}$$

   Uwaga: $\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$ i $45° < 60°$, więc rozwiązanie jest geometrycznie dopuszczalne. ✓

4. Krok 4 – Sprawdzenie.

   Jeśli $\angle DAC = 45°$, to $\angle DAB = 60° - 45° = 15°$. W trójkącie $ABD$: $\angle ABD = 60°$, $\angle DAB = 15°$, więc $\angle ADB = 105°$. Kąt $\angle ADC = 75°$. Dla trójkąta $ADC$: $\angle DAC = 45°$, $\angle ACD = 60°$, $\angle ADC = 75°$ — suma $45°+60°+75° = 180°$. ✓

   Stosunek pól $= \dfrac{BD}{DC} = \dfrac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$. Upraszczamy: $\dfrac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} \cdot \dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1} = \dfrac{(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}+1)}{2} = \dfrac{2\sqrt{3}+2-3-\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$. ✓

Wynik końcowy:

Miara kąta $DAC$ wynosi