Dowód nierówności $(a + 2b)^3 > 8a^2b + 16ab^2$ dla $a > 0$, $b > 0$, $b \neq \frac{1}{2}a$
-
Krok 1: Przekształcenie nierówności do równoważnej postaci.
Wykażemy nierówność, przenosząc wszystkie wyrazy na lewą stronę i pokazując, że powstała różnica jest dodatnia. Rozważmy wyrażenie:
$$D = (a + 2b)^3 - 8a^2b - 16ab^2$$
Wystarczy wykazać, że $D > 0$.
-
Krok 2: Rozwinięcie lewej strony.
Rozwijamy sześcian sumy, korzystając ze wzoru $(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$ dla $x = a$, $y = 2b$:
$$(a + 2b)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 2b + 3 \cdot a \cdot (2b)^2 + (2b)^3$$
$$(a + 2b)^3 = a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3$$
-
Krok 3: Obliczenie różnicy $D$.
Podstawiamy rozwinięcie do wyrażenia $D$:
$$D = a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3 - 8a^2b - 16ab^2$$
Łączymy wyrazy podobne:
$$D = a^3 + (6a^2b - 8a^2b) + (12ab^2 - 16ab^2) + 8b^3$$
$$D = a^3 - 2a^2b - 4ab^2 + 8b^3$$
-
Krok 4: Faktoryzacja wyrażenia $D$.
Grupujemy wyrazy parami i wyłączamy wspólne czynniki:
$$D = a^3 - 2a^2b - 4ab^2 + 8b^3 = a^2(a - 2b) - 4b^2(a - 2b)$$
Wyłączamy wspólny czynnik $(a - 2b)$:
$$D = (a - 2b)(a^2 - 4b^2)$$
Wyrażenie $a^2 - 4b^2$ jest różnicą kwadratów, więc:
$$D = (a - 2b)(a - 2b)(a + 2b)$$
$$\boxed{D = (a - 2b)^2(a + 2b)}$$
-
Krok 5: Ocena znaku wyrażenia $D$.
Analizujemy znak każdego czynnika przy danych założeniach:
- Czynnik $(a - 2b)^2$: jest kwadratem liczby rzeczywistej, więc $(a-2b)^2 \geq 0$ dla wszystkich liczb rzeczywistych $a, b$. Ponieważ $b \neq \frac{1}{2}a$, czyli $2b \neq a$, mamy $a - 2b \neq 0$, a zatem:
$$(a - 2b)^2 > 0$$
- Czynnik $(a + 2b)$: ponieważ $a > 0$ i $b > 0$, mamy:
$$a + 2b > 0$$
Iloczyn dwóch wyrażeń dodatnich jest dodatni, zatem:
$$D = (a - 2b)^2(a + 2b) > 0$$
-
Krok 6: Wniosek końcowy.
Wykazaliśmy, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $a$ i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $b$ spełniającej warunek $b \neq \frac{1}{2}a$:
$$(a + 2b)^3 - 8a^2b - 16ab^2 = (a-2b)^2(a+2b) > 0$$
co jest równoważne nierówności:
$$(a + 2b)^3 > 8a^2b + 16ab^2$$
Nierówność została udowodniona. $\blacksquare$