Zanim przystąpimy do rozwiązania, przypomnijmy oznaczenia. W prostopadłościanie $ABCDEFGH$ wierzchołek $B$ jest połączony krawędziami $BA$, $BC$ i $BB'$ (pionową). Oznaczmy:
- $AB = x$ – długość krawędzi, której szukamy,
- $BC = 4$ – dana długość krawędzi,
- $BF = h$ – wysokość prostopadłościanu (krawędź pionowa z $B$).
-
Krok 1. Wyznaczenie wysokości $h$ z warunku sumy krawędzi.
Z wierzchołka $B$ wychodzą trzy krawędzie: $BA = x$, $BC = 4$ oraz $BF = h$. Warunek zadania mówi, że ich suma wynosi $15$:
$$x + 4 + h = 15$$
$$h = 15 - x - 4 = 11 - x.$$
-
Krok 2. Ustalenie dziedziny funkcji $P$.
Wszystkie krawędzie prostopadłościanu muszą mieć dodatnie długości, zatem:
$$x > 0 \quad \text{oraz} \quad h = 11 - x > 0 \implies x < 11.$$
Dziedzina funkcji $P$:
$$\boxed{x \in (0,\, 11).}$$
-
Krok 3. Wzór na pole powierzchni całkowitej.
Prostopadłościan o wymiarach $a = x$, $b = 4$, $c = h = 11 - x$ ma pole powierzchni całkowitej:
$$P = 2(ab + bc + ac) = 2\bigl(x \cdot 4 + 4 \cdot (11-x) + x \cdot (11-x)\bigr).$$
Obliczamy wyrażenie w nawiasie:
$$4x + 4(11-x) + x(11-x) = 4x + 44 - 4x + 11x - x^2 = -x^2 + 11x + 44.$$
Zatem:
$$\boxed{P(x) = 2(-x^2 + 11x + 44) = -2x^2 + 22x + 88, \quad x \in (0, 11).}$$
-
Krok 4. Wyznaczenie maksimum funkcji $P(x)$.
Funkcja $P(x) = -2x^2 + 22x + 88$ jest parabolą skierowaną ramionami w dół (współczynnik przy $x^2$ jest ujemny), więc osiąga maksimum w wierzchołku.
Odcięta wierzchołka paraboli $ax^2 + bx + c$ wynosi $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$:
$$x_0 = -\frac{22}{2 \cdot (-2)} = -\frac{22}{-4} = \frac{22}{4} = \frac{11}{2} = 5{,}5.$$
Sprawdzamy, czy $x_0 = \dfrac{11}{2} \in (0, 11)$ — tak, należy do dziedziny.
Odpowiadające pole powierzchni:
$$P\!\left(\tfrac{11}{2}\right) = -2\cdot\left(\tfrac{11}{2}\right)^2 + 22\cdot\tfrac{11}{2} + 88 = -2\cdot\tfrac{121}{4} + 121 + 88 = -\tfrac{121}{2} + 209 = \tfrac{297}{2} = 148{,}5.$$
Odpowiedź:
Wzór funkcji pola powierzchni całkowitej:
$$P(x) = -2x^2 + 22x + 88, \quad x \in (0,\, 11).$$
Największe pole powierzchni całkowitej osiąga prostopadłościan, dla którego:
$$\boxed{x = \frac{11}{2} = 5{,}5.}$$
Maksymalne pole powierzchni całkowitej wynosi wówczas $P = 148{,}5$. Wymiary tego prostopadłościanu to $AB = 5{,}5$, $BC = 4$, $BF = 5{,}5$.
