Szukamy trzycyfrowych liczb naturalnych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym cyfra $0$ występuje dokładnie jeden raz.
-
Krok 1: Określenie struktury liczby trzycyfrowej
Liczba trzycyfrowa ma postać $\overline{abc}$, gdzie:
- $a \in \{1, 2, \ldots, 9\}$ — cyfra setek (nie może być $0$),
- $b \in \{0, 1, \ldots, 9\}$ — cyfra dziesiątek,
- $c \in \{1, 3, 5, 7, 9\}$ — cyfra jedności (liczba nieparzysta, więc $c \neq 0$).
Ponieważ $a \neq 0$ i $c \neq 0$, cyfra $0$ może wystąpić wyłącznie na pozycji dziesiątek, czyli $b = 0$.
-
Krok 2: Warunek „dokładnie jeden raz cyfra $0$"
Skoro $c \neq 0$ oraz $a \neq 0$, jedynym miejscem, gdzie może pojawić się $0$, jest pozycja dziesiątek. Zatem warunek „dokładnie jedna cyfra $0$" jest równoważny warunkowi:
$$b = 0$$
Nie ma możliwości, by $0$ pojawiło się więcej niż raz, więc nie musimy nakładać dodatkowych ograniczeń na $a$ ani $c$.
-
Krok 3: Zliczenie możliwości
Ustalamy $b = 0$, po czym zliczamy niezależne wybory dla $a$ i $c$:
- Cyfra setek: $a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ — 9 możliwości,
- Cyfra jedności: $c \in \{1, 3, 5, 7, 9\}$ — 5 możliwości.
Łączna liczba takich liczb:
$$9 \times 5 = 45$$
-
Krok 4: Weryfikacja i analiza odpowiedzi
Odpowiedź A) 45 — poprawna. Wynika wprost z obliczenia $9 \times 5 = 45$.
Odpowiedź B) 50 — błędna. Wynik $50 = 10 \times 5$ sugerowałby, że cyfra setek może przyjmować $10$ wartości (włącznie z $0$), co jest niemożliwe dla liczby trzycyfrowej.
Odpowiedź C) 54 — błędna. Wynik $54 = 9 \times 6$ sugerowałby, że cyfra jedności może być parzysta lub $0$, co zaprzecza warunkowi nieparzystości.
Odpowiedź D) 81 — błędna. Wynik $81 = 9 \times 9$ odpowiadałby liczeniu wszystkich trzycyfrowych nieparzystych liczb z $b = 0$ bez ograniczeń na $c$, lub pomyłkowemu pominięciu warunku nieparzystości (np. $9 \times 9$ zamiast $9 \times 5$).
Wynik końcowy: Liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym cyfra $0$ występuje dokładnie jeden raz, jest
$$\boxed{45}$$
Prawidłowa odpowiedź to A).