LekcjeRazem

Rozwiązanie

1. Krok 1: Wyznaczenie długości krawędzi sześcianu

   Objętość sześcianu o krawędzi $a$ wyraża się wzorem:

   $$V = a^3$$

   Z treści zadania wiemy, że $V = 729$, zatem:

   $$a^3 = 729$$ $$a = \sqrt[3]{729} = 9$$

   Długość krawędzi sześcianu wynosi $a = 9$.

2. Krok 2: Wyznaczenie długości przekątnej sześcianu

   Przekątna sześcianu łączy dwa przeciwległe wierzchołki i przechodzi przez jego wnętrze. Długość przekątnej $d$ sześcianu o krawędzi $a$ wyraża się wzorem:

   $$d = a\sqrt{3}$$

   Wzór ten wynika z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego dwukrotnie: najpierw do przekątnej podstawy $d_p = a\sqrt{2}$, a następnie do trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $d_p$ i $a$:

   $$d = \sqrt{d_p^2 + a^2} = \sqrt{2a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$$

   Podstawiając $a = 9$:

   $$d = 9\sqrt{3}$$
3. Krok 3: Analiza odpowiedzi

   Odpowiedź A) $9\sqrt{3}$ — POPRAWNA. Długość przekątnej sześcianu wynosi $a\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$, co zostało wykazane powyżej.

   Odpowiedź B) $9\sqrt{2}$ — BŁĘDNA. Wartość $9\sqrt{2}$ to długość przekątnej ściany (przekątnej podstawy) sześcianu, a nie przekątnej bryły. Przekątna ściany wynosi $a\sqrt{2} = 9\sqrt{2}$, ale nie jest to przekątna przestrzenna sześcianu.

   Odpowiedź C) $3\sqrt{3}$ — BŁĘDNA. Wartość $3\sqrt{3}$ to przekątna sześcianu o krawędzi $a = 3$ (gdyż $3\sqrt{3} = 3 \cdot \sqrt{3}$). Błąd polega na niepoprawnym obliczeniu krawędzi: $\sqrt[3]{729} = 9$, a nie $3$.

   Odpowiedź D) $3\sqrt{2}$ — BŁĘDNA. Popełniono tu dwa błędy jednocześnie: wzięto błędną krawędź $a = 3$ zamiast $a = 9$ oraz zastosowano wzór na przekątną ściany ($a\sqrt{2}$) zamiast wzoru na przekątną bryły ($a\sqrt{3}$).

Wynik końcowy:

Długość przekątnej sześcianu wynosi $\boldsymbol{9\sqrt{3}}$.

Odpowiedź: A)