Rozwiązanie
-
Krok 1: Wyznaczenie promienia okręgu
Okrąg $\mathcal{O}$ ma środek $S = (2, 4)$ i przechodzi przez punkt $P = (0, 0)$. Promień okręgu jest równy odległości między środkiem $S$ a punktem $P$:
$$r = |SP| = \sqrt{(2-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$$
-
Krok 2: Obliczenie $r^2$
W równaniu okręgu potrzebujemy wartości $r^2$:
$$r^2 = 20$$
-
Krok 3: Zapisanie równania okręgu
Równanie okręgu o środku $S = (2, 4)$ i promieniu $r$ ma postać:
$$(x - 2)^2 + (y - 4)^2 = r^2$$
Podstawiając $r^2 = 20$, otrzymujemy:
$$(x-2)^2 + (y-4)^2 = 20$$
-
Krok 4: Weryfikacja — sprawdzenie, czy punkt $P=(0,0)$ leży na okręgu
Podstawiamy $x = 0$, $y = 0$ do wyznaczonego równania:
$$(0-2)^2 + (0-4)^2 = 4 + 16 = 20 \checkmark$$
Punkt $P$ rzeczywiście leży na okręgu.
-
Krok 5: Analiza wszystkich odpowiedzi
Odpowiedź A) $(x-2)^2+(y-4)^2=2\sqrt{5}$ — błędna.
Środek $(2, 4)$ jest poprawny, jednak prawa strona wynosi $2\sqrt{5} \approx 4{,}47$, co nie jest kwadratem promienia. Promień wynosiłby $r = \sqrt{2\sqrt{5}}$, a nie $\sqrt{20}$. Sprawdzenie: $(0-2)^2+(0-4)^2 = 20 \neq 2\sqrt{5}$.
Odpowiedź B) $(x-2)^2+(y-4)^2=20$ — poprawna.
Środek okręgu to $(2, 4)$ — zgodny z treścią zadania. Prawa strona to $r^2 = 20$, co wynika wprost z obliczonej odległości $|SP| = \sqrt{20}$.
Odpowiedź C) $(x+2)^2+(y+4)^2=2\sqrt{5}$ — błędna.
Postać $(x+2)^2+(y+4)^2$ odpowiada okręgowi o środku $(-2, -4)$, a nie $(2, 4)$. Dodatkowo prawa strona jest niepoprawna (analogicznie jak w odpowiedzi A).
Odpowiedź D) $(x+2)^2+(y+4)^2=20$ — błędna.
Wartość $r^2 = 20$ jest poprawna, ale postać $(x+2)^2+(y+4)^2$ odpowiada okręgowi o środku $(-2, -4)$, a nie $(2, 4)$. Środek jest błędny.
Wynik końcowy:
Okrąg $\mathcal{O}$ jest określony równaniem $$(x-2)^2+(y-4)^2=20$$
Poprawna odpowiedź: B