Rozwiązanie
-
Krok 1: Zastosowanie twierdzenia o kącie wpisanym i środkowym
Kąt $BCA$ jest kątem wpisanym w okrąg, oparty na łuku $AB$ (łuk nieobejmujący punktu $C$).
Kąt środkowy $BOA$ jest oparty na tym samym łuku $AB$.
Na mocy twierdzenia o kącie wpisanym i środkowym:
$$\angle BOA = 2 \cdot \angle BCA = 2 \cdot 50° = 100°$$
-
Krok 2: Analiza trójkąta $AOB$
Punkty $A$ i $B$ leżą na okręgu o środku $O$, więc:
$$OA = OB = r$$
gdzie $r$ jest promieniem okręgu. Trójkąt $AOB$ jest zatem trójkątem równoramiennym.
-
Krok 3: Wyznaczenie kątów przy podstawie trójkąta $AOB$
W trójkącie równoramiennym $AOB$ kąty przy podstawie $AB$ są równe:
$$\angle OAB = \angle OBA$$
Suma kątów w trójkącie wynosi $180°$, zatem:
$$\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180°$$
$$2 \cdot \angle OBA = 180° - 100° = 80°$$
$$\angle OBA = 40°$$
-
Krok 4: Sprawdzenie, czy kąt jest ostry
Otrzymany kąt $\angle ABO = 40°$ spełnia warunek $0° < 40° < 90°$, więc jest kątem ostrym — zgodnie z treścią zadania.
Analiza odpowiedzi
- Odpowiedź A) $20°$ — błędna. Wynikałaby z błędu polegającego na podzieleniu kąta środkowego przez 4 (lub z niepoprawnego zastosowania twierdzenia).
- Odpowiedź B) $40°$ — poprawna. Wynika z poprawnego zastosowania twierdzenia o kącie wpisanym ($\angle BOA = 100°$) oraz własności trójkąta równoramiennego $OAB$.
- Odpowiedź C) $50°$ — błędna. To wartość kąta $BCA$, nie kąta $ABO$. Błąd polega na utożsamieniu szukanego kąta z danym.
- Odpowiedź D) $35°$ — błędna. Wynikałaby z błędnego przyjęcia $\angle BOA = 50°$ (bez zastosowania twierdzenia) i podzielenia przez 2: $\frac{180°-50°}{2} = 65°$ lub innych niepoprawnych obliczeń.
Wynik końcowy: Miara kąta ostrego $ABO$ jest równa $\boxed{40°}$.
Odpowiedź B.
