LekcjeRazem

Rozwiązanie zadania 18.2

Analiza układu

Mamy trójkąt prostokątny $ABC$, w którym:

• kąt prosty jest przy wierzchołku $A$ (bo $BC$ jest przeciwprostokątną),
• $AB = 6$,
• $CD$ jest środkową do boku $AB$, więc $D$ jest środkiem $AB$, zatem $AD = 3$,
• $CD = 5$.

1. Krok 1 – Wyznaczenie długości $AC$.

   W trójkącie $ACD$ kąt przy $A$ jest prosty (skoro kąt $BAC = 90°$), więc:

   $$CD^2 = AC^2 + AD^2$$ $$25 = AC^2 + 9$$ $$AC^2 = 16 \implies AC = 4$$
2. Krok 2 – Wyznaczenie długości $BC$.

   Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $ABC$:

   $$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 36 + 16 = 52$$ $$BC = 2\sqrt{13}$$
3. Krok 3 – Obliczenie $\sin\beta$.

   Kąt $\beta = \angle ABC$ leży w trójkącie prostokątnym $ABC$ (z prostym kątem przy $A$). Bok naprzeciw kąta $\beta$ to $AC = 4$, a przeciwprostokątna to $BC = 2\sqrt{13}$, więc:

   $$\sin\beta = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{2\sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}}$$

Weryfikacja odpowiedzi

• Odpowiedź A) $\dfrac{4}{5}$ – błędna. Wartość $\dfrac{4}{5}$ to $\sin\alpha$ (w trójkącie $ACD$: $\sin\angle ADC = \dfrac{AC}{CD} = \dfrac{4}{5}$), a nie $\sin\beta$.
• Odpowiedź B) $\dfrac{2}{\sqrt{13}}$ – poprawna, co wykazano powyżej.
• Odpowiedź C) $\dfrac{3}{\sqrt{13}}$ – błędna. Byłoby to $\dfrac{AD}{BC} = \dfrac{3}{2\sqrt{13}}$ (po uproszczeniu), co nie odpowiada żadnemu naturalnemu stosunkowi boków w tym trójkącie. Można ją otrzymać błędnie, mylnie przyjmując $AC = 3$.
• Odpowiedź D) $\dfrac{5}{2\sqrt{13}}$ – błędna. Wartość $\dfrac{5}{2\sqrt{13}} = \dfrac{CD}{BC}$, co nie ma interpretacji jako sinus kąta $\beta$ w tym trójkącie.

Wynik końcowy

$$\boxed{\sin\beta = \dfrac{2}{\sqrt{13}}}$$

Poprawna odpowiedź: B