LekcjeRazem

Krok 1 — $c$ jest najdłuższym bokiem. Dla $n>1$ mamy $n^2+1>n^2-1$ oraz $n^2+1>2n$ (bo $n^2-2n+1=(n-1)^2>0$). Sprawdzamy więc $a^2+b^2=c^2$.

Krok 2 — lewa strona:

$$a^2+b^2=(n^2-1)^2+(2n)^2=n^4-2n^2+1+4n^2=n^4+2n^2+1$$

Krok 3 — prawa strona:

$$c^2=(n^2+1)^2=n^4+2n^2+1$$

Krok 4 — wniosek. Obie strony są równe, więc z twierdzenia odwrotnego do Pitagorasa trójkąt jest prostokątny. $\quad∎$

Zastosowanie: dla $n=2$ dostajemy trójkę $3,4,5$; dla $n=3$ — $8,6,10$. To wzór na trójki pitagorejskie.