LekcjeRazem

Krok 1 — definicja okresu. Funkcja $f$ ma okres $T$, gdy $f(x+T)=f(x)$ dla każdego $x$.

Krok 2 — własność sinusa. Z definicji sinusa na okręgu jednostkowym pełny obrót o $2\pi$ wraca do tego samego punktu:

$$\sin(x+2\pi)=\sin x$$

Warunek jest spełniony dla każdego $x$, więc $2\pi$ jest okresem.

Krok 3 — najmniejszy okres. Żadna mniejsza dodatnia liczba nie jest okresem — np. $\sin\left(\frac{\pi}{2}+\pi\right)=-1\neq\sin\frac{\pi}{2}=1$, więc $\pi$ okresem nie jest. Zatem $2\pi$ to najmniejszy okres dodatni.

Krok 4 — powtarzalność wykresu. Skoro $\sin(x+2\pi)=\sin x$, to fragment wykresu nad dowolnym przedziałem $\langle a,\ a+2\pi)$ jest identyczny jak nad $\langle0,\ 2\pi)$ — wystarczy przesunąć argument o $2\pi$. $\qquad ∎$

Wniosek: wykres sinusa to nieskończone powtórzenie jednego „zęba" o szerokości $2\pi$.