LekcjeRazem

Krok 1 — cosinus podwojonego kąta. Wybieramy postać zależną tylko od cosinusa:

$$\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1=2\cdot\frac{16}{25}-1=\frac{32}{25}-\frac{25}{25}=\frac{7}{25}$$

Krok 2 — wyznaczamy sinus. Z jedynki trygonometrycznej:

$$\sin^2\alpha=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$$

W drugiej ćwiartce sinus jest dodatni, więc:

$$\sin\alpha=\frac35$$

Krok 3 — sinus podwojonego kąta:

$$\sin2\alpha=2\cdot\frac35\cdot\left(-\frac45\right)=-\frac{24}{25}$$

Kontrola jedynką: $\left(\frac{7}{25}\right)^2+\left(\frac{24}{25}\right)^2=\frac{49+576}{625}=\frac{625}{625}=1$ ✔

Uwaga na ćwiartkę. Znak sinusa musieliśmy odczytać z położenia kąta — sama jedynka trygonometryczna daje dwie możliwości.

Odpowiedź: $\cos2\alpha=\frac{7}{25}$, $\sin2\alpha=-\frac{24}{25}$.