LekcjeRazem

Krok 1 — dziedzina. Mianownik nie może być zerem:

$$D=\mathbb{R}\setminus\{2\}$$

Krok 2 — miejsce zerowe. Ułamek jest zerem, gdy zeruje się licznik (przy niezerowym mianowniku):

$$x+1=0 \quad\Rightarrow\quad x=-1$$

Wartość $-1$ należy do dziedziny ✔

Krok 3 — asymptota pionowa. Tam, gdzie mianownik się zeruje, a licznik nie:

$$x=2$$

Krok 4 — asymptota pozioma. Przekształćmy wzór:

$$\frac{x+1}{x-2}=\frac{(x-2)+3}{x-2}=1+\frac{3}{x-2}$$

Gdy $x$ rośnie nieograniczenie, składnik $\frac{3}{x-2}$ zmierza do zera, więc wartości zbliżają się do $1$:

$$y=1$$

Bonus. Ta postać pokazuje też, że wykres to hiperbola $\frac3x$ przesunięta o wektor $[2,\,1]$.

Odpowiedź: $D=\mathbb{R}\setminus\{2\}$, miejsce zerowe $x=-1$, asymptoty $x=2$ i $y=1$.