LekcjeRazem

Krok 1 — oznaczenia. $C$ — osoba chora, $T$ — wynik dodatni:

$$P(C)=0{,}01,\quad P(T|C)=0{,}99,\quad P(T|C')=0{,}02$$

Krok 2 — prawdopodobieństwo całkowite wyniku dodatniego:

$$P(T)=0{,}01\cdot0{,}99+0{,}99\cdot0{,}02=0{,}0099+0{,}0198=0{,}0297$$

Krok 3 — wzór Bayesa:

$$P(C|T)=\frac{0{,}0099}{0{,}0297}=\frac13\approx0{,}333$$

Dlaczego wynik jest tak niski: zdrowych jest $99$ razy więcej niż chorych, więc nawet niewielki odsetek fałszywych alarmów daje w liczbach bezwzględnych dwa razy więcej wyników dodatnich niż wykrycia prawdziwe. To klasyczny „paradoks testu” — przy rzadkiej chorobie dodatni wynik nie oznacza jeszcze diagnozy.

Odpowiedź: tylko około $33\%$.