LekcjeRazem

Krok 1. Zapisanie równań.
Z treści zadania wiemy, że \(|BC|=4\). Dodatkowo przyjmijmy, że druga krawędź podstawy ma długość \(x\), a wysokość oznaczmy jako \(h\). Z treści zadania wynika, że suma trzech długości krawędzi jest równa \(15\), zatem:
$$4+x+h=15 \\
x+h=11 \\
h=11-x$$

Pole powierzchni całkowitej moglibyśmy obliczyć jako:
$$P=2\cdot(4\cdot x+4\cdot h+x\cdot h) \\
P=2\cdot(4x+4h+xh) \\
P=8x+8h+2xh \\
P=8x+2xh+8h$$

Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji \(P(x)\).
Kluczem do sukcesu będzie zapisanie pola powierzchni w postaci funkcji z jedną zmienną, czyli zmienną \(x\). Aby tego dokonać, podstawmy wartość \(h\) z równania \(h=11-x\) do równania \(P=8x+2xh+8h\), zatem:
$$P=8x+2x\cdot(11-x)+8\cdot(11-x) \\
P=8x+22x-2x^2+88-8x \\
P=-2x^2+22x+88$$

Otrzymaliśmy informację, że pole powierzchni całkowitej można opisać wyrażeniem \(-2x^2+22x+88\). Całość możemy potraktować tak jak funkcję kwadratową (dla jakiejś wartości \(x\) otrzymamy konkretną wartość \(P\)). Tym samym moglibyśmy zapisać, że \(P(x)=-2x^2+22x+88\).

Krok 3. Zapisanie założeń.
Wszystkie długości krawędzi muszą być większe od zera, zatem:
$$x\gt0 \quad\land\quad 11-x\gt0 \\
x\gt0 \quad\land\quad 11\gt x \\
x\gt0 \quad\land\quad x\lt11$$

Otrzymane wyniki oznaczają, że nasz \(x\) musi być większy od zera i mniejszy od \(11\), zatem dziedziną tej funkcji będzie \(x\in(0,11)\).

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, a tutaj ta parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu (bo współczynnik \(a=-2\)). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco (zwróć uwagę, że na pionowej osi nie mamy \(y\), tylko pole \(P\)):


Chcemy się dowiedzieć, dla jakiego \(x\) to pole \(P\) będzie największe, a wiemy, że parabola skierowana ramionami do dołu osiągnie swoją największą wartość w wierzchołku. Obliczmy zatem dla jakiej długości \(x\) ta największa wartość jest przyjmowana, a pomoże nam w tym wzór na współrzędną \(x_{W}\) wierzchołka paraboli:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a} \\
x_{W}=\frac{-22}{2\cdot(-2)} \\
x_{W}=\frac{-22}{-4} \\
x_{W}=5,5$$

Otrzymany wynik mieści się w wyznaczonej wcześniej dziedzinie funkcji, a to oznacza, że pole powierzchni całkowitej graniastosłupa będzie największe, gdy \(x=5,5\).