📄 Treść zadania
Do dyspozycji są dwa puste pojemniki oraz pięć kul. Każdą z kul należy umieścić w pojemniku. Liczba wszystkich różnych rozmieszczeń tych kul zależy od cech kul i pojemników. W poniższej tabeli w lewej kolumnie podano cechy obiektów (kul i pojemników).
Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź wybraną spośród A–F.
A. \(6\)
B. \(2\cdot5\)
C. \(2^4\)
D. \(3\)
E. \(2^5\)
F. \(5^2\)
I przypadek: Kule rozróżnialne, pojemniki rozróżnialne
Jeżeli kule są rozróżnialne (czyli np. każda ma inny kolor) i pojemniki są także rozróżnialne (np. mniejszy i większy), to będziemy mieć taką sytuację:
· Pierwsza kula może trafić do jednego z dwóch pojemników, czyli mamy \(2\) możliwości
· Druga kula może trafić do jednego z dwóch pojemników, czyli mamy \(2\) możliwości
· Trzecia kula może trafić do jednego z dwóch pojemników, czyli mamy \(2\) możliwości
· Czwarta kula może trafić do jednego z dwóch pojemników, czyli mamy \(2\) możliwości
· Piąta kula może trafić do jednego z dwóch pojemników, czyli mamy \(2\) możliwości
To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia wszystkich przypadków będziemy mieć:
$$2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=2^5$$
II przypadek: Kule rozróżnialne, pojemniki nierozróżnialne
Jeżeli kule są rozróżnialne (czyli np. każda ma inny kolor), a pojemniki są nierozróżnialne (czyli są identycznie i nie ma znaczenia czy kula trafia do pierwszego czy drugiego pojemnika), to liczba możliwych kombinacji będzie dwa razy mniejsza niż w I przypadku. Dlaczego? Mówiąc bardzo obrazowo - w pierwszym przypadku np. żółta i czerwona kula w pierwszym pojemniku oraz żółta i czerwona kula w drugim pojemniku, to były dwa zupełnie różne zdarzenia. Tutaj będą to zdarzenia jednakowe, bo pojemniki są nierozróżnialne. Stąd też wszystkich przypadków będziemy mieć tutaj \(2^5:2=2^4\).
III przypadek: Kule nierozróżnialne, pojemniki rozróżnialne
Jeżeli kule są nierozróżnialne (czyli są identyczne i nie ma znaczenia która to konkretnie kula), a pojemniki są rozróżnialne, to całość zadania sprowadza się tak naprawdę do tego, ile kul znajdzie się w jednym pojemniku, a ile w drugim. Jeśli przykładowo w pierwszym pojemniku będą \(2\) kule, a w drugim \(3\), to zapisalibyśmy to zdarzenie jako \((2;3)\). Mamy więc następujące możliwości:
$$(0;5), (1;4), (2;3), (3;2), (4;1), (5;0)$$
To oznacza, że wszystkich różnych rozmieszczeń mamy dokładnie \(6\).
IV przypadek: Kule nierozróżnialne, pojemniki nierozróżnialne
I tu podobnie jak w drugim przypadku, skoro pojemniki są nierozróżnialne, to liczba kombinacji będzie \(2\) razy mniejsza niż przy pojemnikach rozróżnialnych (które rozpisaliśmy w III przypadku). Mówiąc bardzo obrazowo, w tej sytuacji zdarzenie np. \((1;4)\) oznacza dokładnie to samo co \((4;1)\) (bo właśnie pierwszy i drugi pojemnik jest nierozróżnialny). W takim razie wszystkich różnych rozmieszczeń będziemy mieć tutaj \(6:2=3\).