LekcjeRazem

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zadanie jest bardzo trudne i trzeba tutaj wykonać dość skomplikowany rysunek pomocniczy. Całość zadania opierać się będzie na przekątnej podstawy. Ostrosłup ma krawędź podstawy o długości \(2\), więc zgodnie z własnościami kwadratów, przekątna podstawy będzie miała długość \(2\sqrt{2}\). Jeżeli więc krawędź sześcianu oznaczymy jako \(x\), to powstanie nam taka oto sytuacja:


Odcinek \(FG\) to przekątna podstawy sześcianu o krawędzi \(x\), stąd też ma ona długość \(x\sqrt{2}\). Od razu możemy też zwrócić uwagę, że w takiej sytuacji \(|AE|=\sqrt{2}\) (bo jest to połowa długości przekątnej), natomiast \(|AD|=\sqrt{2}-\frac{1}{2}x\sqrt{2}\) (bo jest to odcinek \(AE\) pomniejszony o połowę długości przekątnej sześcianu).

Krok 2. Dostrzeżenie trójkątów podobnych i obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Powinniśmy zauważyć, że na rysunku powstały nam dwa trójkąty podobne, czyli \(ADF\) oraz \(AEC\). Skoro tak, to moglibyśmy zapisać, że:
$$\frac{|AD|}{|DF|}=\frac{|AE|}{|CE|}$$

Podstawiając do tego równania dane z rysunku, otrzymamy:
$$\frac{\sqrt{2}-\frac{1}{2}x\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{x}{8}$$

Teraz najprościej będzie pomnożyć wszystko na krzyż, zatem:
$$(\sqrt{2}-\frac{1}{2}x\sqrt{2})\cdot8=\sqrt{2}\cdot x \           ,\
8\sqrt{2}-4x\sqrt{2}=x\sqrt{2} \quad\bigg/:\sqrt{2} \           ,\
8-4x=x \           ,\
8=5x \           ,\
x=1,6$$

Krok 3. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Zgodnie z obliczeniami wyszło nam, że długość krawędzi sześcianu jest równa \(1,6\), zatem zdanie jest prawdą.

Krok 4. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Ostrosłup ma wysokość równą \(8\), a sześcian wysokość równą \(1,6\). Ostrosłup jest więc \(\frac{8}{1,6}=5\) razy wyższy od sześcianu, zatem zdanie jest fałszem.

Krok 5. Ocena prawdziwości trzeciego zdania.
Objętość sześcianu o boku \(a=1,6\) wynosi:
$$V=a^3 \           ,\
V=(1,6)^3 \           ,\
V=4,096$$

Objętość jest więc faktycznie większa od \(4\), zatem zdanie jest prawdą.