LekcjeRazem

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Musimy dostrzec dwie bardzo ważne rzeczy.
Po pierwsze \(|\sphericalangle CBR|=|\sphericalangle BCR|\), bo trójkąt \(CRB\) jest równoramienny (ramiona mają długość promienia okręgu).
Po drugie \(|\sphericalangle PAB|=90°\) oraz \(|\sphericalangle ABR|=90°\), bo promienie okręgów poprowadzone do stycznej są do niej prostopadłe.
Spróbujmy więc nanieść na nasz rysunek te oznaczenia i jeszcze może dodatkowo zapiszmy, że \(|\sphericalangle PCB|=δ\) (przyda nam się to w kolejnym kroku):



Krok 2. Wyznaczenie miar kątów \(γ\) oraz \(δ\).
Skoro \(|\sphericalangle ABR|=90°\), to możemy napisać, że:
$$β+γ=90° \           ,\
γ=90°-β$$

Kąt \(δ\) wyznaczymy z własności kątów przyległych:
$$|\sphericalangle PCB|+|\sphericalangle BCR|=180° \           ,\
δ+γ=180°$$

Podstawiając wyznaczoną przed chwilą wartość \(γ=90°-β\) otrzymamy:
$$δ+90°-β=180° \           ,\
δ=90°+β$$

Krok 3. Wyznaczenie miary kąta \(α\).
Patrzymy na czworokąt \(ABCP\). Suma miar tego czworokąta musi być równa \(360°\), zatem:
$$90°+β+δ+α=360° \           ,\
90°+β+(90°+β)+α=360° \           ,\
180°+2β+α=360° \           ,\
α=180°-2β$$

Udało nam się wyznaczyć dokładnie taką samą wartość kąta \(α\) jak w treści zadania, więc dowód możemy uznać za skończony.