📄 Treść zadania
Dany jest okrąg o środku \(S=(2,3)\) i promieniu \(r=5\). Który z podanych punktów leży na tym okręgu?
A
\(A=(-1,7)\)
B
\(B=(2,-3)\)
C
\(C=(3,2)\)
D
\(D=(5,3)\)
I sposób - wyznaczając równanie okręgu.
Krok 1. Wyznaczenie równania okręgu.
To zadanie najprościej jest rozwiązać wyznaczając sobie równanie okręgu, które tak naprawdę polega tylko na podstawieniu danych z treści zadania. Okrąg o środku \(S=(a;b)\) i promieniu \(r\) możemy opisać równaniem:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
Podstawiając współrzędne \(S=(2,3)\) i promień \(r=5\) otrzymamy:
$$(x-2)^2+(y-3)^2=5^2 \ ,\
(x-2)^2+(y-3)^2=25$$
Krok 2. Sprawdzenie który z punktów leży na okręgu.
Jeśli punkt leży na okręgu to będzie spełniał to równanie, które wyznaczyliśmy sobie przed chwilą. Musimy więc podstawiać po kolei współrzędne i jak się za chwilę okaże już pierwsza odpowiedź będzie tą poszukiwaną. Podstawiając \(A=(-1;7)\) otrzymamy:
$$(-1-2)^2+(7-3)^2=25 \ ,\
(-3)^2+4^2=25 \ ,\
9+16=25 \ ,\
25=25 \ ,\
L=P$$
To oznacza, że punkt \(A\) leży na naszym okręgu i już dalej nie musimy sprawdzać kolejnych punktów.
II sposób - sprawdzając długości poszczególnych odcinków.
Gdybyśmy nie znali zagadnienia jakim jest równanie okręgu, to możemy jeszcze skorzystać ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych. Wyznaczylibyśmy wtedy po kolei długości odcinków \(SA\), \(SB\), \(SC\) oraz \(SD\), a prawidłową odpowiedzią będzie ten punkt, który z punktem \(S\) stworzy odcinek o długości \(5\) (bo \(r=5\)).
$$|SA|=\sqrt{(x_{A}-x_{S})^2+(y_{A}-y_{S})^2} \ ,\
|SA|=\sqrt{(-1-2)^2+(7-3)^2} \ ,\
|SA|=\sqrt{(-3)^2+4^2} \ ,\
|SA|=\sqrt{9+16} \ ,\
|SA|=\sqrt{25} \ ,\
|SA|=5$$