LekcjeRazem

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Krok 2. Obliczenie długości \(x\).
Znając pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu i relacje między poszczególnymi długościami boków (patrz rysunek z pierwszego kroku) możemy obliczyć długość każdej z krawędzi.
$$P_{c}=2\cdot x\cdot2x+2\cdot x\cdot3x+2\cdot2x\cdot3x \           ,\
198=4x^2+6x^2+12x^2 \           ,\
198=22x^2 \           ,\
x^2=9 \           ,\
x=3 \quad\lor\quad x=-3$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zostaje nam \(x=3\).

Znając wartość \(x=3\) znamy tak naprawdę długości wszystkich krawędzi tego prostopadłościanu: \(x=3\), \(2x=6\) oraz \(3x=9\).

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(BD\).
Musimy poznać długość odcinka \(BD\), tak aby potem użyć jej do obliczenia przekątnej bryły. Z Twierdzenia Pitagorasa wynika, że:
$$a^2+b^2=c^2 \           ,\
|AB|^2+|AD|^2=|BD|^2 \           ,\
3^2+6^2=|BD|^2 \           ,\
9+36=|BD|^2 \           ,\
|BD|^2=45 \           ,\
|BD|=\sqrt{45}$$

Krok 4. Obliczenie długości przekątnej prostopadłościanu.
Ponownie skorzystamy ze wzoru na Twierdzenie Pitagorasa.
$$|BD|^2+|DH|^2=|BH|^2 \           ,\
(\sqrt{45})^2+9^2=|BH|^2 \           ,\
45+81=|BH|^2 \           ,\
|BH|^2=126 \           ,\
|BH|=\sqrt{126}=\sqrt{9\cdot14}=3\sqrt{14}$$