📄 Treść zadania
Pewien turysta pokonał trasę \(112\) km, przechodząc każdego dnia tę samą liczbę kilometrów. Gdyby mógł przeznaczyć na tę wędrówkę o \(3\) dni więcej, to w ciągu każdego dnia mógłby przechodzić o \(12\) km mniej. Oblicz, ile kilometrów dziennie przechodził ten turysta.
Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.
\(x\) - liczba pokonywanych kilometrów w ciągu dnia
\(y\) - liczba dni wędrówki
\(x\cdot y=112\)
Mamy także informację, że jeśli turysta będzie podróżować o \(3\) dni dłużej, czyli \(y+3\), to mógłby pokonywać dziennie \(12\) km mniej, czyli \(x-12\). Trasa cały czas byłaby taka sama, więc:
$$(x-12)(y+3)=112$$
Krok 2. Utworzenie i rozwiązanie układu równań.
Z naszych rozważań możemy utworzyć następujący układ równań:
\begin{cases}
x\cdot y=112 \ ,\
(x-12)(y+3)=112
\end{cases}\begin{cases}
y=\frac{112}{x} \ ,\
(x-12)(y+3)=112
\end{cases}
Podstawiając teraz pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$(x-12)\left(\frac{112}{x}+3\right)=112 \ ,\
112+3x-\frac{1344}{x}-36=112 \ ,\
3x-\frac{1344}{x}-36=0 \quad\bigg/\cdot x \ ,\
3x^2-36x-1344=0 \quad\bigg/:3 \ ,\
x^2-12x-448=0$$
Ostatnie dzielenie przez trzy nie było konieczne, ale dzięki niemu będziemy teraz działać na nieco mniejszych liczbach.
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-12,\;c=-448\)
$$Δ=b^2-4ac=(-12)^2-4\cdot1\cdot(-448)=144+1792=1936 \ ,\
\sqrt{Δ}=\sqrt{1936}=44$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-12)-44}{2\cdot1}=\frac{12-44}{2}=\frac{-32}{2}=-16 \ ,\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-12)+44}{2\cdot1}=\frac{12+44}{2}=\frac{56}{2}=28$$
Wartość \(x_{1}=-16\) musimy odrzucić, bo liczba pokonanych kilometrów nie może być ujemna. Stąd też końcową odpowiedzią jest \(x=28\), czyli turysta pokonywał \(28\) kilometrów dziennie.