📄 Treść zadania
W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\), określonym dla liczb naturalnych \(n\ge1\), wyraz szósty jest liczbą dwa razy większą od wyrazu piątego, a suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa \(S_{10}=\frac{15}{4}\). Oblicz wyraz pierwszy oraz różnicę tego ciągu.
Krok 1. Ułożenie układu równań.
Z treści zadania wynika, że możemy stworzyć następujący układ równań:
$$\begin{cases}
a_{6}=2a_{5} \ ,\
S_{10}=\frac{15}{4}
\end{cases}$$
Aby rozwiązać ten układ równań musimy rozpisać piąty i szósty wyraz korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, czyli \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) oraz musimy rozpisać sumę dziesięciu wyrazów korzystając ze wzoru \(S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n\).
W związku z tym:
$$\begin{cases}
a_{1}+5r=2\cdot(a_{1}+4r) \ ,\
\frac{2a_{1}+9r}{2}\cdot10=\frac{15}{4}
\end{cases}$$
Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Zaczynając od wymnożenia odpowiednich wartości w nawiasach możemy zapisać, że:
$$\begin{cases}
a_{1}+5r=2\cdot(a_{1}+4r) \ ,\
\frac{2a_{1}+9r}{2}\cdot10=\frac{15}{4}
\end{cases}$$
$$\begin{cases}
a_{1}+5r=2a_{1}+8r \ ,\
(2a_{1}+9r)\cdot5=\frac{15}{4}
\end{cases}$$
$$\begin{cases}
-a_{1}-3r=0 \ ,\
10a_{1}+45r=\frac{15}{4} \quad\bigg/\cdot4
\end{cases}$$
$$\begin{cases}
-a_{1}-3r=0 \quad\bigg/\cdot40 \ ,\
40a_{1}+180r=15
\end{cases}$$
$$\begin{cases}
-40a_{1}-120r=0 \quad\bigg/\cdot40 \ ,\
40a_{1}+180r=15
\end{cases}$$
Dodając równania stronami otrzymamy:
$$60r=15 \ ,\
r=\frac{1}{4}$$
Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu ciągu.
Znając wartość \(r=\frac{1}{4}\), możemy teraz wyznaczyć wartość pierwszego wyrazu, podstawiając wyznaczoną różnicę ciągu do jednego z równań np.:
$$-a_{1}-3r=0 \ ,\
-a_{1}-3\frac{1}{4}=0 \ ,\
-a_{1}-\frac{3}{4}=0 \ ,\
a_{1}=-\frac{3}{4}$$