LekcjeRazem

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Oprócz naszkicowania sobie bryły wprowadźmy też oznaczenia, które pozwolą nam odnieść się do stosunku wysokości do promienia podstawy. Niech więc wysokość stożka będzie równa \(3x\), a promień podstawy \(8x\). Możemy też zapisać, że \(\frac{H}{r}=\frac{3}{8}\).

Krok 2. Obliczenie wartości \(x\).
Skorzystamy tutaj ze wzoru na objętość stożka.
$$V=\frac{1}{3}πr^2\cdot H \           ,\
8π=\frac{1}{3}π\cdot(8x)^2\cdot3x \           ,\
8π=\frac{1}{3}π\cdot64x^2\cdot3x \           ,\
8=64x^3 \           ,\
x^3=\frac{1}{8} \           ,\
x=\frac{1}{2}$$

To oznacza, że:
$$r=8x=8\cdot\frac{1}{2}=4 \           ,\
H=3x=3\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$$

Krok 3. Obliczenie długości tworzącej stożka.
Skorzystamy tutaj z Twierdzenia Pitagorasa:
$$r^2+H^2=l^2 \           ,\
4^2+\left(\frac{3}{2}\right)^2=l^2 \           ,\
16+\frac{9}{4}=l^2 \           ,\
l^2=\frac{64}{4}+\frac{9}{4} \           ,\
l^2=\frac{73}{4} \           ,\
l=\sqrt{\frac{73}{4}} \           ,\
l=\frac{\sqrt{73}}{2}$$

Krok 4. Obliczenie pole powierzchni bocznej stożka.
$$P_{b}=πrl \           ,\
P_{b}=π\cdot4\cdot\frac{\sqrt{73}}{2} \           ,\
P_{b}=2\sqrt{73}π$$