LekcjeRazem

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń.
Przyjmijmy, że:
\(x\) - liczba znajomych
\(y\) - opłata miesięczna na osobę
\(120\) - łączna opłata za Internet

Po miesiącu:
\(x+2\) - liczba znajomych po upływie miesiąca
\(x-5\) - nowa opłata miesięczna na osobę
\(120\) - łączna opłata za Internet (nie uległa zmianie)

Krok 2. Stworzenie i rozwiązanie układu równań.
Zgodnie z treścią zadania i wypisanymi przed chwilą oznaczeniami możemy zapisać, że:
\begin{cases}
x\cdot y=120 \           ,\
(x+2)\cdot(y-5)=120
\end{cases}

\begin{cases}
y=\frac{120}{x} \           ,\
xy-5x+2y-10=120
\end{cases}

Podstawiając wartość \(y=\frac{120}{x}\) z pierwszego równania do równania drugiego otrzymamy:
$$\require{cancel}
x\cdot\frac{120}{x}-5x+2\cdot\frac{120}{x}-10=120 \           ,\
\cancel{120}-5x+\frac{240}{x}-10=\cancel{120} \           ,\
-5x+\frac{240}{x}-10=0 \quad\bigg/\cdot x \           ,\
-5x^2-10x+240=0 \quad\bigg/:(-5) \           ,\
x^2+2x-48$$

Ostatniego dzielenia przez \(-5\) nie musimy wykonywać, aczkolwiek uprości nam to trochę późniejsze obliczenia.

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=2,\;c=-48\)
$$Δ=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot(-48)=4-(-192)=4+192=196 \           ,\
\sqrt{Δ}=\sqrt{196}=14$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2-14}{2\cdot1}=\frac{-16}{2}=-8 \           ,\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2+14}{2\cdot1}=\frac{12}{2}=6$$

Z racji tego, że liczba osób nie może być ujemna, to jedynym rozwiązaniem jakie nam zostaje jest \(x=6\). To oznacza, że w pierwszym miesiącu użytkowania Internetu grupa liczyła \(6\) osób.