LekcjeRazem

Krok 1. Wymnożenie wielomianów \(W(x)\) oraz \(Q(x)\).
Skoro iloczyn \(W(x)\cdot Q(x)\) ma być równy \(P(X)\) to poznajmy na początku wartość tego iloczynu:
$$W(x)\cdot Q(x)=(ax+b)\cdot(2x^2-x-1)= \           ,\
=2ax^3-ax^2-ax+2bx^2-bx-b= \           ,\
=2ax^3-ax^2+2bx^2-ax-bx-b= \           ,\
=2ax^3+(-a+2b)x^2+(-a-b)x-b$$

Krok 2. Przyrównanie wielomianu \(P(x)\) do otrzymanego wyniku iloczynu.
Zgodnie z treścią zadania nasz wielomian \(P(x)\) jest równy dokładnie temu, co obliczyliśmy w pierwszym kroku. To pozwoli nam poznać wartości współczynników \(a\) oraz \(b\) bo możemy przyrównać do siebie poszczególne fragmenty tych wielomianów, a konkretniej wartości stojące przed \(x^3\), przed \(x^2\), przed \(x\) oraz wyrazy wolne:

W wielomianie \(P(x)\) przed \(x^3\) mamy liczbę \(-2\). W iloczynie przed \(x^3\) otrzymaliśmy \(2a\). Zatem:
$$-2=2a \           ,\
a=-1$$

W wielomianie \(P(x)\) przed \(x^2\) mamy liczbę \(3\). W iloczynie przed \(x^2\) otrzymaliśmy \(-a+2b\). Wartość \(a\) już znamy, zatem:
$$3=-a+2b \           ,\
3=-(-1)+2b \           ,\
3=1+2b \           ,\
2=2b \           ,\
b=1$$

Dalej już porównywać nie musimy, bo z dwóch pierwszych porównań wyszło nam, że \(a=-1\) oraz \(b=1\).