📄 Treść zadania
Dana jest funkcja \(f(x)=-3x^2+bx+c\) dla \(x\in\mathbb{R}\). Prosta o równaniu \(x=2\) jest osią symetrii paraboli będącej jej wykresem, a zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział \((-\infty ;21\rangle\). Wyznacz współczynniki \(b\) i \(c\).
Krok 1. Odczytanie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Choć nie jest to zapisane wprost, to z treści zadania możemy wyczytać współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\). Oś symetrii paraboli wskazuje nam pierwszą współrzędną, czyli współrzędną \(p\), bowiem oś symetrii przechodzi właśnie przez wierzchołek. Skoro osią symetrii jest prosta \(x=2\), to pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli będzie równa właśnie \(p=2\).
Drugą współrzędną wskazuje nam zbiór wartości funkcji. Funkcja zawsze ma najmniejszą lub największą wartość w swoim wierzchołku. Skoro maksymalną wartością przyjmowaną przez naszą funkcję jest \(21\), to taka też będzie druga współrzędna wierzchołka paraboli, czyli \(q=21\).
Możemy więc stwierdzić, że \(W=(2;21)\).
Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji w postaci kanonicznej.
Znając współrzędne wierzchołka paraboli możemy zapisać wzór funkcji w postaci kanonicznej:
$$f(x)=a(x-p)^2+q$$
Wiemy, że \(a=-3\), bo wynika to z zapisu funkcji w postaci ogólnej \(f(x)=-3x^2+bx+c\). Wiemy też jakie są współrzędne wierzchołka, czyli \(p=2\) oraz \(q=21\), zatem:
$$f(x)=-3(x-2)^2+21$$
Krok 3. Zapisanie wzoru funkcji w postaci ogólnej i odczytanie współczynników \(b\) oraz \(c\).
Teraz znając już wzór funkcji w postaci kanonicznej możemy przekształcić go do postaci ogólnej z której to potem odczytamy potrzebne współczynniki.
$$f(x)=-3(x-2)^2+21 \ ,\
f(x)=-3(x^2-4x+4)+21 \ ,\
f(x)=-3x^2+12x-12+21 \ ,\
f(x)=-3x^2+12x+9$$
To oznacza, że współczynnik \(b=12\) oraz \(c=9\).