LekcjeRazem

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń i zapisanie równań z treści zadania.
Zadanie jest trochę zagmatwane i wszystko sprowadza się tak naprawdę do poprawnego ułożenia dwóch równań z których stworzymy układ równań. Przyjmijmy, że:
\(a\) - obecny wiek Anki
\(d\) - obecny wiek Danki
\(a-d\) - różnica wieku między Anką i Danką

Teraz ułóżmy pierwsze równanie. Ze zdania "Gdy Anka miała tyle lat, ile Danka ma teraz, to była od niej trzy razy starsza" wynika, że:
$$a-(a-d)=3(d-(a-d))$$
lub też po prostu:
$$d=3(d-(a-d))$$

Drugie równanie wynika ze zdania "Gdy Danka będzie miała tyle lat, ile Anka ma teraz, Anka będzie miała \(42\) lata", czyli:
$$a+(a-d)=42$$

Krok 2. Utworzenie i rozwiązanie układu równań.
Z dwóch równań wyznaczonych w pierwszym kroku powstaje nam układ równań, który musimy po prostu rozwiązać:
$$\begin{cases}
d=3(d-(a-d)) \           ,\
a+(a-d)=42
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
d=3(d-a+d) \           ,\
a+a-d=42
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
d=3(2d-a) \           ,\
2a-d=42
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
d=6d-3a \           ,\
d+42=2a
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
5d-3a=0 \           ,\
d=2a-42
\end{cases}$$

Podstawiając \(d=2a-42\) z drugiego równania do pierwszego otrzymamy:
$$5\cdot(2a-42)-3a=0 \           ,\
10a-210-3a=0 \           ,\
7a=210 \           ,\
a=30$$

Znając wiek Anki możemy obliczyć także wiek Danki, podstawiając \(a=30\) do jednego z równań:
$$d=2a-42 \           ,\
d=2\cdot30-42 \           ,\
d=60-42 \           ,\
d=18$$

To oznacza, że Anka ma \(30\) lat, a Danka ma \(18\) lat.