📄 Treść zadania
W okrąg o średnicy \(AB\) wpisano trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|CB|=6\sqrt{2}\).
Długość tego okręgu jest równa:
A
\(36π\)
B
\(12π\)
C
\(6π\sqrt{2}\)
D
\(12π\sqrt{2}\)
Krok 1. Obliczenie długości średnicy okręgu.
Jeżeli trójkąt jest wpisany w okrąg i jego bok jest jednocześnie średnicą tego okręgu, to na pewno ten trójkąt jest prostokątny. Ta obserwacja pozwoli nam obliczyć długość przeciwprostokątnej trójkąta (i tym samym średnicy okręgu) stosując dla tego trójkąta Twierdzenie Pitagorasa. Równie dobrze możemy też skorzystać z własności trójkątów o kątach \(45°, 45°, 90°\) (wiemy że takie miary kątów ma ten trójkąt, bo jest to trójkąt prostokątny równoramienny).
Skorzystajmy zatem z Twierdzenia Pitagorasa. Obydwa ramiona \(AC\) oraz \(BC\) mają taką samą długość (bo jest to trójkąt równoramienny) i zgodnie z treścią zadania wynosi ona \(6\sqrt{2}\). To oznacza, że przeciwprostokątna trójkąta, a tym samym średnica okręgu jest równa:
$$(6\sqrt{2})^2+(6\sqrt{2})^2=|AB|^2 \ ,\
36\cdot2+36\cdot2=|AB|^2 \ ,\
72+72=|AB|^2 \ ,\
|AB|^2=144 \ ,\
|AB|=12 \quad\lor\quad |AB|=-12$$
Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo średnica nie może mieć ujemnej długości, zatem \(|AB|=12\).
Krok 2. Obliczenie długości (czyli obwodu) okręgu.
Do obliczenia długości obwodu będziemy potrzebować długość promienia, zatem skoro średnica ma długość \(12\), to promień ma długość \(12:2=6\). Teraz możemy już bez problemu obliczyć długość okręgu:
$$Obw=2\pi r \ ,\
Obw=2\pi\cdot6 \ ,\
Obw=12\pi$$