📄 Treść zadania
Ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) składa się z dwudziestu jeden wyrazów, których suma jest równa \(147\). Jeśli odrzucimy dwa początkowe i trzy końcowe wyrazy tego ciągu, to suma wszystkich pozostałych wyrazów będzie równa \(108\). Zapisz wzór ogólny ciągu \((a_{n})\).
Krok 1. Rozpisanie sumy dwudziestu jeden wyrazów.
W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu. Nasz ciąg ma \(21\) wyrazów, zatem \(n=21\). Wiemy też, że suma tych wyrazów jest równa \(147\). Podstawiając te informacje do wzoru, otrzymamy taki oto zapis:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n \ ,\
S_{21}=\frac{a_{1}+a_{21}}{2}\cdot21 \ ,\
147=\frac{a_{1}+a_{21}}{2}\cdot21 \ ,\
7=\frac{a_{1}+a_{21}}{2} \ ,\
a_{1}+a_{21}=14$$
Z własności ciągów wiemy, że \(a_{21}=a_{1}+20r\). Skoro tak, to możemy kontynuować obliczenia i zapisać, że:
$$a_{1}+a_{21}=14 \ ,\
a_{1}+a_{1}+20r=14 \ ,\
2a_{1}+20r=14 \ ,\
a_{1}+10r=7$$
Krok 2. Zapisanie równania po odjęciu dwóch początkowych i trzech końcowych wyrazów.
Z treści zadania wynika, że kiedy odjęliśmy dwa początkowe i trzy końcowe wyrazy, to suma wszystkich wyrazów zmalała do \(108\), czyli zmalała o \(147-108=39\). Możemy więc matematycznie zapisać, że:
$$a_{1}+a_{2}+a_{19}+a_{20}+a_{21}=39$$
Póki co mamy bardzo dużo niewiadomych, więc spróbujmy uprościć cały zapis. Korzystając z własności ciągu, możemy teraz rozpisać, że np. \(a_{2}=a_{1}+r\) albo też \(a_{21}=a_{1}+20r\). Nasz zapis możemy więc przekształcić do następującej postaci:
$$a_{1}+a_{1}+r+a_{1}+18r+a_{1}+19r+a_{1}+20r=39 \ ,\
a_{1}+a_{1}+r+a_{1}+18r+a_{1}+19r+a_{1}+20r=39 \ ,\
5a_{1}+58r=39$$
Krok 3. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Z pierwszego kroku wiemy już, że \(a_{1}+10r=7\), a z drugiego wiemy, że \(5a_{1}+58r=39\). Mamy więc dwa równania i dwie niewiadome, zatem z pomocą może nam przyjść układ równań:
\begin{cases}
a_{1}+10r=7 \ ,\
5a_{1}+58r=39
\end{cases}
\begin{cases}
a_{1}=7-10r \ ,\
5a_{1}+58r=39
\end{cases}
Korzystając z metody podstawiania możemy teraz podstawić pierwsze równanie do drugiego i zapisać, że:
$$5\cdot(7-10r)+58r=39 \ ,\
35-50r+58r=39 \ ,\
35+8r=39 \ ,\
8r=4 \ ,\
r=\frac{1}{2}$$
Krok 4. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu.
Korzystając z wybranego równania np. \(a_{1}+10r=7\), możemy podstawić \(r=\frac{1}{2}\) i obliczyć wartość \(a_{1}\), zatem:
$$a_{1}+10r=7 \ ,\
a_{1}+10\cdot\frac{1}{2}=7 \ ,\
a_{1}+5=7 \ ,\
a_{1}=2$$
Krok 5. Zapisanie wzoru ciągu.
Znając \(r=\frac{1}{2}\) oraz \(a_{1}=2\), możemy bez przeszkód wyznaczyć wzór ogólny ciągu, podstawiając te dwie dane do wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \ ,\
a_{n}=2+(n-1)\cdot\frac{1}{2} \ ,\
a_{n}=2+\frac{1}{2}n-\frac{1}{2} \ ,\
a_{n}=\frac{1}{2}n+1\frac{1}{2}$$