📄 Treść zadania
W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\) określonym dla \(n\ge1\), dane są wyrazy \(a_{2}=-2\) i \(a_{5}=7\). Oblicz sumę wyrazów tego ciągu, od wyrazu piątego do wyrazu dwudziestego.
Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu.
Ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego wiemy, że:
$$a_{5}=a_{2}+3r$$
Znając wartości \(a_{2}\) oraz \(a_{5}\) możemy obliczyć różnicę ciągu, zatem:
$$7=-2+3r \ ,\
9=3r \ ,\
r=3$$
Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Nie mamy wzoru na obliczenie sumy wyrazów od piątego do dwudziestego. Powinniśmy jednak zauważyć, że to czego szukamy da się obliczyć nieco sprytniej. Wystarczy policzyć ile to jest \(S_{20}\) i odjąć od tego \(S_{4}\). Do jednego i drugiego wzoru przyda nam się poznanie wartości \(a_{1}\), zatem policzmy ją teraz. Skorzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego i informacji o tym, że przykładowo \(a_{2}=-2\) oraz \(r=3\). Otrzymamy zatem:
$$a_{2}=a_{1}+r \ ,\
a_{1}=a_{2}-r \ ,\
a_{1}=-2-3 \ ,\
a_{1}=-5$$
Krok 3. Obliczenie sumy czterech pierwszych wyrazów tego ciągu.
Zgodnie z przyjętą strategią musimy obliczyć wartość \(S_{4}\), zatem podstawiając \(a_{1}=-5\) oraz \(n=4\) do wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów otrzymamy:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n \ ,\
S_{4}=\frac{2\cdot(-5)+(4-1)\cdot3}{2}\cdot4 \ ,\
S_{4}=\frac{-10+3\cdot3}{2}\cdot4 \ ,\
S_{4}=\frac{-10+9}{2}\cdot4 \ ,\
S_{4}=-\frac{1}{2}\cdot4 \ ,\
S_{4}=-2$$
Krok 4. Obliczenie sumy dwudziestu pierwszych wyrazów tego ciągu.
Analogicznie jak w poprzednim kroku, tym razem obliczymy \(S_{20}\), zatem:
$$S_{20}=\frac{2\cdot(-5)+(20-1)\cdot3}{2}\cdot20 \ ,\
S_{20}=\frac{-10+19\cdot3}{2}\cdot20 \ ,\
S_{20}=\frac{-10+19\cdot3}{2}\cdot20 \ ,\
S_{20}=\frac{-10+57}{2}\cdot20 \ ,\
S_{20}=\frac{47}{2}\cdot20 \ ,\
S_{20}=\frac{47}{2}\cdot20 \ ,\
S_{20}=470$$
Krok 5. Obliczenie sumy wyrazów od piątego do dwudziestego.
Na sam koniec musimy już tylko od \(S_{20}\) odjąć wartość \(S_{4}\) i otrzymamy to czego szukamy:
$$S_{5-20}=S_{20}-S_{4} \ ,\
S_{5-20}=470-(-2) \ ,\
S_{5-20}=472$$