📄 Treść zadania
W pojemniku znajdują się koperty ponumerowane kolejnymi liczbami naturalnymi od \(100\) do \(999\), przy czym każda koperta ma inny numer. Z pojemnika losowo wybieramy jedną kopertę. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania koperty oznaczonej liczbą parzystą, w której co najmniej jedna cyfra jest czwórką. Wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego.
Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Nasze losowanie polega na tym, że losujemy jedną z kilkuset dostępnych kopert. Musimy więc teraz dobrze ustalić ile jest tych wszystkich kopert (czyli ile tak naprawdę jest liczb trzycyfrowych), bo wbrew pozorom nie będzie ich \(999-100=899\). To bardzo często popełniany błąd w tego typu zadaniach. Tak jak liczb np. od \(1\) do \(10\) nie jest \(10-1=9\), tylko \(10\), tak naszych kopert będziemy mieć \(900\). Możemy więc zapisać, że \(|Ω|=900\).
Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniami sprzyjającymi (czyli takimi, które spełniają warunki naszego zadania) będą wszystkie te liczby które są parzyste i które mają przynajmniej jedną czwórkę. Obliczenie ile jest takich liczb może sprawiać problemy, bo nie jest to takie proste do wyznaczenia. Rozpiszmy więc sobie wszystko bardzo dokładnie:
I sposób - analizując poszczególne możliwości.
Zacznijmy od rozpisania sytuacji w których jest tylko jedna czwórka w całym zapisie:
1. Czwórka może wystąpić w rzędzie setek \(4■■\). Wtedy w rzędzie dziesiątek możemy mieć jedną z dziewięciu pozostałych cyfr (\(0,1,2,3,5,6,7,8,9\), czyli bez czwórki), a w rzędzie jedności możemy mieć jedną z czterech cyfr (\(2,6,8,0\), bo liczba musi być parzysta). To oznacza, że tutaj zgodnie z regułą mnożenia będziemy mieć \(1\cdot9\cdot4=36\) zdarzeń sprzyjających.
2. Czwórka może wystąpić w rzędzie dziesiątek \(■4■\). W takiej sytuacji w rzędzie setek możemy mieć jedną z ośmiu cyfr (pasuje każda cyfra, oprócz \(4\) oraz \(0\), bo nie ma takich liczb jak \(042\)). W rzędzie jedności możemy mieć jedną z czterech cyfr (\(2,6,8,0\)). Zgodnie z regułą mnożenia mamy więc \(8\cdot1\cdot4=32\) zdarzenia sprzyjające.
3. Czwórka może wystąpić w rzędzie jedności \(■■4\). Tutaj w rzędzie setek możemy mieć jedną z ośmiu cyfr (pasuje każda cyfra oprócz \(4\) oraz \(0\)). W rzędzie dziesiątek możemy mieć jedną z dziewięciu cyfr (każda oprócz \(4\)). W związku z tym mamy tutaj \(8\cdot9\cdot1=72\) zdarzenia sprzyjające.
Teraz policzmy ile jest zdarzeń w których mamy dwie czwórki w całym zapisie:
1. Czwórka może wystąpić jednocześnie w rzędzie setek i dziesiątek \(44■\). Tutaj cyfrą jedności może być być jedna z czterech cyfr (\(0,2,6,8\)). Mamy zatem \(4\) zdarzenia sprzyjające.
2. Czwórka może wystąpić jednocześnie w rzędzie setek i jedności \(4■4\). Tutaj cyfrą dziesiątek może być jedna z dziewięciu cyfr (wszystkie oprócz \(4\)). Mamy zatem \(9\) zdarzeń sprzyjających.
3. Czwórka może wystąpić jednocześnie w rzędzie dziesiątek i jedności \(■44\). Tutaj cyfrą setek może być jedna z ośmiu cyfr (bez \(0\) oraz bez \(4\)). Mamy zatem \(8\) zdarzeń sprzyjających.
No i jest jeszcze jedna możliwość, czyli wszystkie cyfry naszej liczby są równe \(4\), dzięki czemu powstanie liczba \(444\). Mamy więc jeszcze jedną dodatkową możliwość.
W związku z tym wszystkich zdarzeń sprzyjających będziemy mieć:
$$|A|=36+32+72+4+9+8+1=162$$
II sposób - nieco sprytniejszy, opierający się na tym ile zdarzeń nie jest sprzyjających.
Jak widać powyżej, obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających było dość trudne i bardzo łatwo jest tutaj o pomyłkę. Okazuje się, że znacznie szybciej dałoby się policzyć ile zdarzeń NIE jest sprzyjających.
1. Na pewno zdarzeniami niesprzyjającymi są wszystkie liczby nieparzyste, które stanowią połowę wszystkich zdarzeń elementarnych. Takich zdarzeń będzie więc \(450\).
2. Liczby nieparzyste odkładamy już na bok i ich nie analizujemy. Wśród pozostałych zdarzeń (czyli wśród liczb parzystych) zdarzeniami niesprzyjającymi będą teraz te liczby w których nie użyto cyfry \(4\). W takich liczbach w rzędzie setek możemy mieć więc \(8\) różnych cyfr (wszystkie cyfry oprócz \(4\) oraz \(0\)). W rzędzie dziesiątek możemy mieć jedną z dziewięciu cyfr (wszystkie oprócz \(4\)). W rzędzie jedności będziemy mieć jedną z czterech cyfr (\(0,2,6,8\)). To oznacza, że parzystych liczb w których nie ma czwórki będzie łącznie \(8\cdot9\cdot4=288\).
W związku z tym wszystkich zdarzeń niesprzyjających mamy \(450+288=738\). Skoro zdarzeń elementarnych mamy \(900\), a zdarzeń niesprzyjających jest \(738\), to zdarzeń sprzyjających będziemy mieć:
$$|A|=900-738=162$$
Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{162}{900}=\frac{18}{100}=\frac{9}{50}$$