📄 Treść zadania
Laura ma pięć płyt z muzyką taneczną i trzy z muzyką poważną. Na ile sposobów Laura może tak ustawić poszczególne płyty na półce, aby wszystkie płyty tego samego gatunku znalazły się obok siebie? Wskaż poprawny sposób obliczeń.
A
\(5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1\cdot3\cdot2\cdot1\)
B
\(5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1+3\cdot2\cdot1\)
C
\(2\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1\cdot3\cdot2\cdot1\)
D
\(2\cdot5^5\cdot3^3\)
Rozpatrzmy dwa warianty:
I wariant - najpierw układamy płyty z muzyką taneczną, potem z muzyką poważną.
W tym wariancie najpierw stawiamy pierwszą płytę taneczną (mamy tutaj pięć możliwości, bo jest pięć takich płyt), potem stawiamy drugą płytę taneczną (mamy tym razem cztery możliwości, bo odpada nam płyta która znalazła się na pierwszym miejscu) itd. Jak skończą nam się płyty taneczne to stawiamy płytę z muzyką poważną (mamy tutaj trzy możliwości), potem drugą poważną (mamy już wtedy dwie możliwości) i na koniec ostatnią (mamy już wtedy tylko jedną możliwość).
Zgodnie z regułą mnożenia liczba sposobów w jaki możemy ułożyć płyty wyniesie:
$$5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1\cdot3\cdot2\cdot1$$
II wariant - najpierw układamy płyty z muzyką poważną, a potem z muzyką taneczną.
I tutaj analogicznie jak przed chwilą, tylko w zmienionej kolejności będziemy mieć zgodnie z regułą mnożenia:
$$3\cdot2\cdot1\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1$$
Widzimy wyraźnie, że liczba sposobów ułożenia płyt w obydwu wariantach jest sobie równa (tak naprawdę w jednym i drugim mnożeniu mamy tylko pozamieniane czynniki). My możemy ułożyć płyty na pierwszy lub drugi sposób, więc tych sposobów będzie po prostu \(2\) razy więcej niż w pierwszym czy drugim wariancie. Z tego też względu wszystkich możliwości będziemy mieć:
$$2\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1\cdot3\cdot2\cdot1$$