LekcjeRazem

Krok 1. Dostrzeżenie trójkątów podobnych i wykorzystanie własności trójkątów równobocznych.
Powinniśmy dostrzec, że skoro prosta \(DE\) jest równoległą do podstawy \(AB\), to trójkąt \(DEC\) jest podobny do trójkąta \(ABC\).

Dodatkowo z własności trójkątów równobocznych wiemy, że odległość od punktu przecięcia się wysokości aż do wierzchołka, stanowi \(\frac{2}{3}h\). Skoro tak i skoro trójkąty \(ABC\) oraz \(DEC\) są podobne, to analogicznie podstawa \(DE\) będzie stanowić \(\frac{2}{3}\) długości podstawy \(AB\).

Z naszych analiz wynika więc, że mamy taką oto sytuację:


Krok 2. Obliczenie pola powierzchni trójkątów \(ABC\) oraz \(DEC\).
Ze wzoru na pole trójkąta możemy zapisać, że:
$$P_{ABC}=\frac{1}{2}ah \           ,\
\text{oraz} \           ,\
P_{DEC}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}a\cdot\frac{2}{3}h \           ,\
P_{DEC}=\frac{4}{18}ah$$

Krok 3. Obliczenie stosunku pól powierzchni trójkątów \(ABC\) oraz \(DEC\).
Interesuje nas stosunek pól tych dwóch trójkątów, zatem:
$$\frac{P_{ABC}}{P_{DEC}}=\frac{\frac{1}{2}ah}{\frac{4}{18}ah}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{4}{18}}=\frac{1}{2}:\frac{4}{18}=\frac{1}{2}\cdot\frac{18}{4}=\frac{18}{8}=\frac{9}{4}$$

To oznacza, że stosunek tych dwóch pól jest równy \(9:4\).