📄 Treść zadania
Punkt \(C=(0,0)\) jest wierzchołkiem trójkąta prostokątnego \(ABC\), którego wierzchołek \(A\) leży na osi \(Ox\), a wierzchołek \(B\) na osi \(Oy\) układu współrzędnych. Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta opuszczona z wierzchołka \(C\) przecina przeciwprostokątną \(AB\) w punkcie \(D=(3,4)\).
Oblicz współrzędne wierzchołków \(A\) i \(B\) tego trójkąta oraz długość przeciwprostokątnej \(AB\).
Krok 1. Wyznaczenie równania prostej \(CD\).
Równanie prostej przybiera postać \(y=ax+b\). Współczynnik \(b\) mówi nam o tym w którym miejscu prosta przetnie się z osią igreków. W naszym przypadku prosta \(CD\) przechodzi przez początek układu współrzędnych, zatem przecina oś igreków dla \(y=0\). To oznacza, że także \(b=0\), czyli prostą \(CD\) możemy opisać wzorem \(y=ax\).
To czego teraz potrzebujemy, to wyznaczyć współczynnik kierunkowy \(a\) tej prostej. Zrobimy to podstawiając współrzędne punktu \(D=(3,4)\), który przez tą prostą przechodzi:
$$y=ax \ ,\
4=a\cdot3 \ ,\
a=\frac{4}{3}$$
Wyszło nam więc, że prosta \(CD\) przyjmuje postać \(y=\frac{4}{3}x\).
Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(AB\).
Prosta \(AB\) jest prostopadła do prostej \(CD\), a to oznacza, że iloczyn współczynników kierunkowych tych prostych jest równy \(-1\). Skoro prosta \(CD\) ma współczynnik kierunkowy \(a=\frac{4}{3}\), to znaczy że prosta \(AB\) ma ten współczynnik równy:
$$a\cdot\frac{4}{3}=-1 \ ,\
a=-\frac{3}{4}$$
Możemy więc już zapisać, że prosta \(AB\) wyraża się równaniem \(y=-\frac{3}{4}x+b\). Musimy jeszcze wyznaczyć współczynnik \(b\) naszej prostej, a zrobimy to podstawiając do wzoru współrzędne punktu \(D\), który przez tą prostą przechodzi:
$$y=-\frac{3}{4}x+b \ ,\
4=-\frac{3}{4}\cdot3+b \ ,\
4=-\frac{9}{4}+b \ ,\
\frac{16}{4}=-\frac{9}{4}+b \ ,\
b=\frac{25}{4}$$
W ten sposób poznaliśmy już pełne równanie prostej \(AB\) i jest to \(y=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{4}\).
Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(A\).
O punkcie \(A\) wiemy tyle, że na pewno jego współrzędna igrekowa jest równa \(0\), bo leży ten punkt na osi iksów. Skoro tak, to brakuje nam już tylko współrzędnej iksowej tego punktu, a obliczymy ją podstawiając do równania prostej \(AB\) właśnie \(y=0\):
$$y=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{4} \ ,\
0=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{4} \ ,\
\frac{3}{4}x=\frac{25}{4} \quad\bigg/\cdot\frac{4}{3} \ ,\
x=\frac{25}{3}$$
Możemy więc zapisać, że \(A=\left(\frac{25}{3},0\right)\).
Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(B\).
Współrzędna iksowa punktu \(B\) jest dość oczywista, bo skoro punkt \(B\) leży na osi igreków, to współrzędna iksowa jest równa \(0\). Współrzędną igrekową możemy wprost odczytać z równania prostej \(AB\). Skoro współczynnik \(b\) tej prostej jest równy \(\frac{25}{4}\), to współrzędna igrekowa także będzie równa \(y=\frac{25}{4}\). Gdybyśmy nie pamiętali o tej własności, to wystarczy do równania prostej \(AB\) podstawić \(x=0\), otrzymamy dokładnie to samo:
$$y=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{4} \ ,\
y=-\frac{3}{4}\cdot0+\frac{25}{4} \ ,\
y=\frac{25}{4}$$
W związku z tym \(B=\left(0,\frac{25}{4}\right)\).
Krok 5. Obliczenie długości odcinka \(AB\).
Znając współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\) nie pozostaje nam nic innego jak podstawić je do wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2} \ ,\
|AB|=\sqrt{\left(0-\frac{25}{3}\right)^2+\left(\frac{25}{4}-0\right)^2} \ ,\
|AB|=\sqrt{\left(-\frac{25}{3}\right)^2+\left(\frac{25}{4}\right)^2} \ ,\
|AB|=\sqrt{\frac{625}{9}+\frac{625}{16}} \ ,\
|AB|=\sqrt{\frac{625\cdot16}{9\cdot16}+\frac{625\cdot9}{16\cdot9}} \ ,\
|AB|=\sqrt{\frac{10000}{144}+\frac{5625}{144}} \ ,\
|AB|=\sqrt{\frac{15625}{144}} \ ,\
|AB|=\frac{125}{12}$$