Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Teoretycznie moglibyśmy próbować po kratkach określić współrzędne punktu \(D\), tak aby potem obliczyć długość przekątnej \(BD\), ale jest spora rozpiętość między punktami, więc łatwo tutaj o pomyłkę. Zróbmy więc to zadanie w sposób bardziej uniwersalny, zaczynając od prostego szkicu całej sytuacji:
Krok 2. Obliczenie współrzędnych miejsca przecięcia się przekątnych równoległoboku.
Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie swojej długości. Skoro tak, to znając współrzędne wierzchołków \(A\) oraz \(C\), możemy obliczyć środek tego odcinka, czyli jednocześnie miejsce przecięcia się tych przekątnych. Wykorzystamy w tym celu wzór na środek odcinka w układzie współrzędnych:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{C}}{2};\frac{y_{A}+y_{C}}{2}\right) \ ,\
S=\left(\frac{-6+10}{2};\frac{5+(-3)}{2}\right) \ ,\
S=\left(\frac{4}{2};\frac{2}{2}\right) \ ,\
S=(2;1)$$
Krok 3. Obliczenie długości odcinka BS (połowa przekątnej).
Odcinek \(BS\) to odcinek od wierzchołka równoległoboku do miejsca przecięcia się przekątnych. Korzystając ze wzoru na długość odcinka, możemy zapisać, że:
$$|BS|=\sqrt{(x_{S}-x_{B})^2+(y_{S}-y_{B})^2} \ ,\
|BS|=\sqrt{(2-5)^2+(1-7)^2} \ ,\
|BS|=\sqrt{(-3)^2+(-6)^2} \ ,\
|BS|=\sqrt{9+36} \ ,\
|BS|=\sqrt{45} \ ,\
|BS|=3\sqrt{5}$$
Krok 4. Obliczenie długości przekątnej \(BD\).
Skoro przekątne równoległoboku przecinają się w połowie swojej długości, to przekątna \(BD\) będzie dwa razy większa od odcinka \(BS\), zatem:
$$|BD|=2\cdot3\sqrt{5} \ ,\
|BD|=6\sqrt{5}$$