📄 Treść zadania
Nie istnieje kąt ostry \(\alpha\) taki, że:
A
\(sin\alpha=\frac{1}{3}\) i \(cos\alpha=\frac{2}{3}\)
B
\(sin\alpha=\frac{5}{13}\) i \(cos\alpha=\frac{12}{13}\)
C
\(sin\alpha=\frac{3}{5}\) i \(cos\alpha=\frac{4}{5}\)
D
\(sin\alpha=\frac{9}{15}\) i \(cos\alpha=\frac{12}{15}\)
Do zadania można podejść na różne sposoby. Ciekawym podejściem byłoby chociażby skorzystanie z tablic trygonometrycznych i sprawdzenie, czy dla podanych wartości sinusa i cosinusa odczytamy tą samą miarę kąta. Możemy to też sprawdzić na trójkącie prostokątnym (tu trzeba byłoby zweryfikować za pomocą twierdzenia Pitagorasa, czy dane długości boków w ogóle są możliwe). A najłatwiej jest chyba to sprawdzić korzystając z jedynki trygonometrycznej. Jeśli istnieje dany kąt \(\alpha\), to \(sin^2\alpha+cos^2\alpha\) będzie równe \(1\).
Odp. A.
$$\left(\frac{1}{3}\right)^2+\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{1}{9}+\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$$
Otrzymany wynik nie jest równy 1, co oznacza, że taki kąt \(\alpha\) nie istnieje.
Odp. B.
$$\left(\frac{5}{13}\right)^2+\left(\frac{12}{13}\right)^2=\frac{25}{169}+\frac{144}{169}=\frac{169}{169}=1$$
Otrzymany wynik oznacza, że taki kąt \(\alpha\) istnieje.
Odp. C.
$$\left(\frac{3}{5}\right)^2+\left(\frac{4}{5}\right)^2=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=\frac{25}{25}=1$$
Otrzymany wynik oznacza, że taki kąt \(\alpha\) istnieje.
Odp. D.
$$\left(\frac{9}{15}\right)^2+\left(\frac{12}{15}\right)^2=\frac{81}{225}+\frac{144}{225}=\frac{225}{225}=1$$
Otrzymany wynik oznacza, że taki kąt \(\alpha\) istnieje.