Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy sobie nasz ostrosłup i wprowadźmy proste oznaczenia, pamiętając o tym że skoro jest to ostrosłup prawidłowy trójkątny, to w podstawie musi znaleźć się trójkąt równoboczny:
Musimy obliczyć cosinus kąta \(α\), czyli:
$$cosα=\frac{|OC|}{|SC|}$$
To oznacza, że będziemy chcieli poznać długości odcinków \(OC\) oraz \(SC\). Długości jako takich na pewno nie poznamy, bo w zadaniu nie występują konkretne liczby, dlatego będziemy musieli operować na wyrażeniach algebraicznych i powiązaniach poszczególnych długości z długością \(a\). Na tym tak naprawdę polegać będzie cała trudność tego zadania.
Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(OC\).
Odcinek \(OC\) stanowi \(\frac{2}{3}\) długości wysokości trójkąta równobocznego znajdującego się w podstawie (wynika to z własności ostrosłupów prawidłowych trójkątnych). Korzystając ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego możemy zapisać, że:
$$|OC|=\frac{2}{3}\cdot h \ ,\
|OC|=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2} \ ,\
|OC|=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2} \ ,\
|OC|=\frac{2a\sqrt{3}}{6} \ ,\
|OC|=\frac{a\sqrt{3}}{3}$$
Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(DS\).
Odcinek \(DS\) (wysokość ściany bocznej oznaczona jako \(h\)) przyda nam się do obliczenia długości krawędzi bocznej, czyli boku \(SC\). Z treści zadania wynika, że pole powierzchni bocznej jest dwa razy większe od pola podstawy. W związku z tym:
$$P_{b}=2P_{p} \ ,\
P_{b}=2\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \ ,\
P_{b}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$$
Pole powierzchni bocznej to pole trzech trójkątów równoramiennych, każdy o boku \(a\) oraz wysokości \(h\), zatem:
$$P_{b}=3\cdot\frac{1}{2}\cdot a\cdot h \ ,\
P_{b}=\frac{3}{2}\cdot a\cdot h$$
Przyrównując teraz do siebie te dwa wyznaczone równania otrzymamy:
$$\frac{3}{2}\cdot a\cdot h=\frac{a^2\sqrt{3}}{2} \quad\bigg/\cdot2 \ ,\
3a\cdot h=a^2\sqrt{3} \quad\bigg/:3a \ ,\
h=\frac{a^2\sqrt{3}}{3a} \ ,\
h=\frac{a\sqrt{3}}{3}$$
W związku z tym: \(|DS|=\frac{a\sqrt{3}}{3}\).
Krok 4. Obliczenie długości odcinka \(SC\).
Spójrzmy na trójkąt \(DCS\). Długość kluczowego odcinka \(SC\) (oznaczonego na rysunku jako \(b\)) obliczymy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa. Odcinek \(DC\) będący dolną przyprostokątną tego trójkąta ma długość \(\frac{1}{2}a\) (bo wysokość w trójkącie równobocznym dzieli podstawę na dwie równe części). Odcinek \(DS\) który jest drugą przyprostokątną wyliczyliśmy przed chwilą i wiemy że \(DS=\frac{a\sqrt{3}}{3}\), zatem:
$$|DC|^2+|DS|^2=|SC|^2 \ ,\
\left(\frac{1}{2}a\right)^2+\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2=b^2 \ ,\
\frac{1}{4}a^2+\frac{a^2\cdot3}{9}=b^2 \ ,\
\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{3}=b^2 \ ,\
\frac{3a^2}{12}+\frac{4a^2}{12}=b^2 \ ,\
\frac{7a^2}{12}=b^2 \ ,\
b=\sqrt{\frac{7a^2}{12}} \ ,\
b=\frac{\sqrt{7a^2}}{\sqrt{12}} \ ,\
b=\frac{\sqrt{7}a}{\sqrt{4\cdot3}} \ ,\
b=\frac{\sqrt{7}a}{2\sqrt{3}} \ ,\
b=\frac{\sqrt{7}a\cdot\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} \ ,\
b=\frac{\sqrt{21}a}{2\cdot3} \ ,\
b=\frac{\sqrt{21}a}{6}$$
To oznacza, że krawędź boczna ma długość \(|SC|=\frac{\sqrt{21}a}{6}\).
Krok 5. Obliczenie wartości \(cosα\).
Mamy już wszystkie potrzebne dane, zatem możemy zapisać, że:
$$cosα=\frac{|OC|}{|SC|} \ ,\
cosα=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{21}a}{6}} \ ,\
cosα=\frac{a\sqrt{3}}{3}:\frac{\sqrt{21}a}{6} \ ,\
cosα=\frac{a\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{6}{\sqrt{21}a} \ ,\
cosα=\frac{6a\sqrt{3}}{3\sqrt{21}a} \ ,\
cosα=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{21}a} \ ,\
cosα=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{7}\cdot\sqrt{3}\cdot a} \ ,\
cosα=\frac{2}{\sqrt{7}} \ ,\
cosα=\frac{2\cdot\sqrt{7}}{\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}} \ ,\
cosα=\frac{2\sqrt{7}}{7}$$
