LekcjeRazem

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Pierwszą rzeczą, którą musimy zauważyć to fakt iż trójkąty \(ABS\) oraz \(DCS\) są podobne na mocy cechy kąt-kąt-kąt. Wynika to z zależności między kątami wierzchołkowymi i naprzemianległymi. Jeśli \(|\sphericalangle SAB|=α\) to kąt naprzemianległy \(|\sphericalangle SCD|=α\). Analogicznie \(|\sphericalangle ABS|=|\sphericalangle SDC|=β\). Natomiast \(|\sphericalangle ASB|=|\sphericalangle DSC|=γ\) bo są to kąty wierzchołkowe.

Krok 2. Obliczenie skali podobieństw trójkątów \(ABC\) oraz \(DCS\).
Jeżeli długość przekątnej \(AC\) oznaczymy sobie jako \(x\), to odcinek \(|AS|=\frac{5}{6}x\) oraz \(|SC|=\frac{1}{6}x\) (wynika to wprost z treści zadania). Zatem skala podobieństw tych trójkątów jest równa:
$$k=\frac{|AS|}{|SC|}=\frac{\frac{5}{6}}{\frac{1}{6}}=5$$

Krok 3. Obliczenie stosunku pól powierzchni obydwu trójkątów.
Jeżeli skala podobieństwa dwóch figur jest równa \(k\), to stosunek pól powierzchni tych dwóch figur jest równy \(k^2\). Skoro w naszym przypadku \(k=5\), to \(k^2=25\). Pole trójkąta \(ABS\) jest więc \(25\) razy większe od pola trójkąta \(DCS\) i właśnie w ten sposób możemy zakończyć nasze dowodzenie.