LekcjeRazem

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Oznaczmy sobie na rysunku poszczególne długości odcinków:



Krok 2. Obliczenie pól trójkątów \(ADR\), \(PCR\) oraz \(ABP\), a także prostokąta \(ABCD\).
$$P_{ADR}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}a\cdot b=\frac{1}{4}ab \           ,\
P_{PCR}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}a\cdot\frac{1}{2}b=\frac{1}{8}ab \           ,\
P_{ABP}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot\frac{1}{2}b=\frac{1}{4}ab \           ,\
P_{ABCD}=ab$$

Krok 3. Obliczenie pola trójkąta \(APR\).
Pole trójkąta \(APR\) obliczymy odejmując od pola prostokąta pola trzech trójkątów, zatem:
$$P_{APR}=P_{ABCD}-P_{ADR}-P_{PCR}-P_{ABP} \           ,\
P_{APR}=ab-\frac{1}{4}ab-\frac{1}{8}ab-\frac{1}{4}ab \           ,\
P_{APR}=ab-\frac{2}{8}ab-\frac{1}{8}ab-\frac{2}{8}ab \           ,\
P_{APR}=ab-\frac{5}{8}ab \           ,\
P_{APR}=\frac{3}{8}ab$$

Krok 4. Zakończenie dowodzenia.
Suma pól trójkątów \(ADR\) oraz \(PCR\) jest równa:
$$P_{ADR}+P_{PCR}=\frac{1}{4}ab+\frac{1}{8}ab=\frac{3}{8}ab$$

Otrzymany wynik jest dokładnie taki sam jak wyznaczone pole trójkąta \(APR\) w trzecim kroku, a to kończy nasz dowód.