LekcjeRazem

Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.
\(v\) - prędkość Pani Lidii
\(t\) - czas Pani Lidii
\(s=450\) - odległość między miastami
\(v-18\) - prędkość Pani Danuty
\(t+\frac{5}{4}\) - czas Pani Danuty

Dlaczego czas Pani Danuty to \(t+\frac{5}{4}\)? Pani Danuta jechała dłużej o \(75\) minut. Nam jednostka jaką są minuty nie pasuje, bo prędkość obliczamy w \(\frac{km}{h}\). Musimy więc te minuty zamienić na godziny:
$$75\text{ min. }=\frac{75}{60}\text{ godz. }=\frac{5}{4}\text{ godz. }$$

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Skorzystamy tutaj ze standardowego wzoru:
$$v=\frac{s}{t} \Rightarrow s=vt$$

Na podstawie tego wzoru układamy dwa równania - pierwsze dla Pani Lidii, drugie dla Pani Danuty.
\begin{cases}
450=vt \           ,\
450=(v-18)(t+\frac{5}{4})
\end{cases}

Podstawiając z pierwszego równania \(t=\frac{450}{v}\) otrzymamy:
$$\require{cancel}
450=(v-18)\left(\frac{450}{v}+\frac{5}{4}\right) \           ,\
\cancel{450}=\cancel{450}+\frac{5}{4}v-\frac{8100}{v}-22,5 \           ,\
\frac{5}{4}v-\frac{8100}{v}-22,5=0 \quad\bigg/\cdot v \           ,\
\frac{5}{4}v^2-22,5v-8100=0 \quad\bigg/\cdot\frac{4}{5} \           ,\
v^2-18v-6480=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Skorzystamy tutaj z metody delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-18,\;c=-6480\)
$$Δ=b^2-4ac=(-18)^2-4\cdot1\cdot(-6480)=324-(-25920)=324+25920=26244 \           ,\
\sqrt{Δ}=\sqrt{26244}=162$$

$$v_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-18)-162}{2\cdot1}=\frac{18-162}{2}=\frac{-144}{2}=-72 \           ,\
v_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-18)+162}{2\cdot1}=\frac{18+162}{2}=\frac{180}{2}=90$$

Krok 4. Obliczenie średnich wartości prędkości Pani Lidii i Danuty.
Z równania kwadratowego otrzymaliśmy dwa rozwiązania, ale wartość ujemną oczywiście odrzucamy, tak więc wyszło nam, że prędkość jazdy Pani Lidii to \(90\frac{km}{h}\).
W związku z tym prękość jazdy Pani Danuty wynosi:
$$90\frac{km}{h}-18\frac{km}{h}=72\frac{km}{h}$$