LekcjeRazem

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego i wprowadzenie oznaczeń.
Spójrzmy na trójkąt \(DEC\). Jest on na pewno równoramienny, co wynika bezpośrednio z treści zadania. Jeśli więc oznaczymy sobie \(|\sphericalangle CDE|=α\), to także \(|\sphericalangle DEC|=α\)

Z własności kątów wierzchołkowych wynika, że w takim razie także \(|\sphericalangle BEF|=α\).

Dodatkowo oznaczmy sobie miarę kąta \(\sphericalangle EBF=β\).



Krok 2. Wyznaczenie wartości kątów \(ACB\), \(ABC\), \(BAC\) oraz \(AFD\).
Korzystając z wiedzy, że w każdym z trójkątów suma miar jest równa \(180°\) możemy zapisać, że:
\(|\sphericalangle ACB|=180°-2α\           ,\
|\sphericalangle ABC|=180°-β \text{ (kąty przyległe)}\           ,\
|\sphericalangle BAC|=180°-|\sphericalangle ACB|-|\sphericalangle ABC|=\           ,\
=180°-(180°-2α)-(180°-β)=\           ,\
=180°-180°+2α-180°+β=-180°+2α+β \           ,\
|\sphericalangle AFD|=180°-α-β\)

Krok 3. Udowodnienie zależności podanej w treści zadania.
W drugim kroku obliczyliśmy sobie wartości każdego z potrzebnych kątów, zatem podstawmy te dane do równania z treści zadania i sprawdźmy, czy jest ono rzeczywiście prawdziwe.
$$|\sphericalangle BAC|=|\sphericalangle ABC|-2\cdot|\sphericalangle AFD| \           ,\
-180°+2α+β=180°-β-2\cdot(180°-α-β) \           ,\
-180°+2α+β=180°-β-(360°-2α-2β) \           ,\
-180°+2α+β=180°-β-360°+2α+2β \           ,\
-180°+2α+β=-180°+2α+β \           ,\
L=P$$

Równość jest prawdziwa, co kończy nasz dowód.